Рух тіла змінної маси

У ньютонівській механіці маса тіла може змінюватися тільки в результаті відокремлення від тіла або приєднання до нього частинок речовини. Прикладом такого тіла є ракета. У процесі польоту маса ракети поступово зменшується, оскільки газоподібні продукти згоряння пального в двигуні ракети викидаються через сопло.

Рівняння поступального руху тіла змінної маси (рівняння Мещерського):

,

де і – відповідно маса і швидкість тіла в розглядуваний момент часу, – головний вектор зовнішніх сил, що діють на тіло; – швидкість частинок, які відокремлюються, після їх відторгнення (якщо ), або ж частинок, що приєднуються, до їх приєднання (якщо ).

Другий член правої частини рівняння Мещерського являє собою додаткову силу, яка діє на тіло змінної маси. Ця сила називається реактивною (протидійною) силою:

,

де – відносна швидкість відокремлюваних або приєднуваних частинок, тобто їх швидкість відносно системи відліку, що рухається поступально разом із тілом.

Реактивна сила характеризує механічну дію на тіло частинок, які відокремлюються чи приєднуються до нього (наприклад, дію на ракету струменя газів, що витікає з неї).

Рівняння руху ракети за відсутності зовнішніх сил:

.

Якщо початкова швидкість ракети дорівнює нулеві, то ракета рухається прямолінійно в напрямку, протилежному відносній швидкості u струменя газу на виході з сопла двигуна. Припустимо і проінтегруємо рівняння руху ракети

,

де – початкова (стартова) маса ракети. Зв¢язок між швидкістю ракети та її масою виражається формулою Ціолковського

,

Найбільша швидкість, яку може розвинути ракета за відсутності зовнішніх сил, називається характеристичною швидкістю. Ця швидкість досягається в момент закінчення роботи двигуна через використання всього запасу пального та окиснювача,

,

де – початкова маса пального та окиснювача.

Тяжіння Землі та опір повітря помітно зменшують максимальну швидкість, яку фактично набуває ракета в процесі роботи двигуна, порівняно з її характеристичною швидкістю.

Характеристична швидкість складної (багатоступінчастої, або багатоступеневої) ракети

,

де – загальне число ступенів ракети, – маса пального та окиснювача, призначених для роботи двигуна і-ї ступені, – відносна швидкість витікання газів із сопла двигуна і-ї ступені, – стартова маса частини складної ракети, яка включає всі ступені ракети з і-ї по n-у. Збільшення характеристичної швидкості складної ракети у порівнянні з одноступінчастою, що має ту ж саму стартову масу і той же запас пального та окиснювача, пов¢язане з додатковим зменшенням маси ракети шляхом послідовного відокремлення від неї першої, другої і наступних ступенів після згоряння всього пального, наявного в цій ступені.