Числовые характеристики системы случайных величин
По аналогии с одномерными СВ для двумерной случайной величины можно записать:
(10.5)
Если говорим о моменте го порядка двумерной СВ, это значит суммируем индексы: . Для однозначного задания момента двумерной СВ необходимо указать любые два числа из трех: , и .
Рассмотрим подробнее:
(10.6)
Как видим для двумерной СВ можно указать три центральных момента второго порядка, особый интерес вызывает смешанный момент.
Ковариацией(или корреляционным моментом) случайных величин и называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих математических ожиданий:
(10.7)
Для дискретной СВ:
(10.8)
Для непрерывной СВ:
(10.9)
Теорема: Корреляционный момент двух независимых случайных величин и равен нулю.
Доказательство: (Докажем эту теорему для непрерывных СВ). Пусть и независимые случайные величины, тогда согласно (10.4) . Подставим это в выражение (10.9)
(10.10)
Ковариация двух случайных величин характеризует как степень зависимости случайных величин, так и их рассеяние вокруг точки . Если рассеяние (степень разброса) мало, то и ковариация мала.
Ковариация двух случайных величин равна математическому ожиданию их произведения минус произведение математических ожиданий, т.е.
(10.11)
Коэффициентом корреляции двух случайных величин называется отношение ковариации к произведению средних квадратических отклонений этих величин:
(10.12)
Коэффициент корреляции является безразмерной величиной и не зависит от степени разброса, т.к. функция нормирована на меру разброса .
Пример 1.Имеются линейно зависимые случайные величины, т.е.
.
Необходимо вычислить коэффициент корреляции.
Решение. Пусть для заданной СВ . Тогда, учитывая свойства получим:
Дата добавления: 2015-06-10; просмотров: 719;