Устойчивость импульсных систем

Как и для непрерывных систем, устойчивость импульсных систем является необходимым условием их работоспособности.

Устойчивость системы характеризуется ее свободным поведением, а свободное поведение определяется переходной составляющей процесса регулирования выходной величины. Линейная импульсная система называется устойчивой, если переходная составляющая процесса регулирования y_п[n,s] затухает с течением времени.

Сформулированное условие устойчивости сводится к выполнению равенства

(1.90)

для всех s из интервала 0 £ s < 1. Если хотя бы для одного значения s

(1.91)

то импульсная система называется неустойчивой. Если, наконец,

(1.92)

или не существует, то импульсная система находится на границе устойчивости.

В подавляющем большинстве случаев величина предела при любом s определяется его значением при s = 0. В тех случаях, когда при s = 0 выполняется соотношение (1.90), а при s ¹ 0 - любое из соотношений (1.91), (1.92) говорят о так называемой высокочастотной неустойчивости АИС.

Таким образом, чтобы оценить устойчивость системы, необходимо найти переходную составляющую процесса регулирования. Переходная составляющая процесса регулирования определяется решением однородного разностного уравнения замкнутой импульсной системы

a₀y[n,s] + a₁y[n-1,s] + ... + a_my[n-m,s] = 0, (1.93)

где m - порядок системы.

Решение однородного разностного уравнения при некратных корнях характеристического уравнения может быть записано следующим образом:

, (1.94)

где z_i - корни характеристического уравнения

a₀ z^m + a₁z^m-1 + ... + a_m = 0; (1.95)

C_i - постоянные коэффициенты, значения которых зависят от свойств системы, характера внешнего воздействия и относительного времени s.

Из решения (1.94) следует, что для устойчивости импульсной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического полинома замкнутой системы (полюса передаточной функции замкнутой импульсной системы Ф(z, s)) удовлетворяли условию

½z_i ½< 1; i = 1, 2, ..., m. (1.96)

Если хотя бы один корень ½z_i ½> 1, система будет неустойчивой. Значением какого-либо корня ½z_i ½= 1 при всех остальных½z_i ½< 1 определяется граница устойчивости импульсной системы.

Графически область устойчивости импульсной системы на плоскости z корней характеристического уравнения изображается единичным кругом (рис. 1.13).

Рис. 1.13. Области устойчивости на плоскости Z

Таким образом, исследование устойчивости сводится к изучению расположения корней характеристического полинома замкнутой импульсной системы относительно единичной окружности.

Критерии устойчивости используются для исследования устойчивости импульсных систем без нахождения корней характеристического уравнения. Для импульсных систем обобщаются все критерии устойчивости, используемые для исследования непрерывных систем.

Аналог критерия Рауса-Гурвица. Условия устойчивости формулируются в виде неравенств, накладывающих ограничения на коэффициенты характеристического полинома замкнутой системы (табл. 1.2).

Т а б л и ц а 1. 2