Передаточные функции разомкнутых импульсных систем

Разомкнутая линейная амплитудная импульсная система (АИС) может быть схематически представлена в виде последовательного соединения импульсного элемента (ИЭ) и непрерывной части (НЧ) (рис. 1.6). Подобные системы называют импульсными фильтрами.

Рис. 1.6. Функциональная схема разомкнутой импульсной системы:

ИЭ - импульсный элемент; НЧ - непрерывная часть

Импульсный элемент преобразует задающее воздействие g(t) в последовательность импульсов x*, амплитуда которых пропорциональна входному непрерывному сигналу. Импульсная последовательность после прохождения через непрерывную часть вследствие сглаживающих свойств последней превращается в непрерывную величину на выходе y(t).

При исследовании импульсной системы ее структуру приводят к расчетной схеме (рис. 1.7) путем замены импульсного элемента последовательным соединением простейшего импульсного элемента (ПИЭ) и непрерывного фильтра, который называется формирующим элементом (ФЭ). Простейший импульсный элемент преобразует непрерывный сигнал в мгновенные импульсы в виде d-функций, модулированные по площади, а формирующий элемент формирует импульс заданной формы из d-функций, соответствующей форме выходного импульса реального импульсного элемента. Форма импульса реального импульсного элемента определяет импульсную функцию формирующего элемента w_ФЭ(t). Следовательно, передаточная функция формирующего элемента может быть определена как изображение формы импульса по Лапласу, т.е.

W_ФЭ(s)=L[w_ФЭ(t)]. (1.52)

Формирующий элемент объединяется с непрерывной частью системы в приведенную непрерывную часть.

Рис. 1.7. Расчетная функциональная схема разомкнутой импульсной системы: ПИЭ - простейший импульсный элемент; ФЭ - формирующий элемент; НЧ - непрерывная часть; ПНЧ - приведенная непрерывная часть

Таким образом, линейную импульсную систему с амплитудно-импульсной модуляцией приводят к расчетной структуре, состоящей из последовательного соединения простейшего импульсного элемента и приведенной непрерывной части, передаточная функция которой

W_ПНЧ(s) = W_ФЭ(s)´W_НЧ(s), (1.53)

где W_НЧ(s) - передаточная функция непрерывной части системы.

Для получения математического описания разомкнутой импульсной системы установим связь между ее входной и выходной координатами.

Если внешнее воздействие g(t) приложено ко входу простейшего импульсного элемента, то на его выходе появляется последовательность мгновенных импульсов g*[nT], модулированных внешним воздействием (рис. 1.8). Выходной сигнал простейшего импульсного элемента

(1.54)

Таким образом, на выходе простейшего импульсного элемента образуются мгновенные импульсы (d-функции), площадь каждого из которых пропорциональна значениям входной величины в дискретные моменты времени. На рис. 1.8 d-функции условно изображены в виде стрелок, длина которых соответствует дискретным значениям входной величины.

Рис. 1.8. Временные диаграммы изменения сигналов

импульсной разомкнутой системы

Последовательность импульсов g* воздействует на приведенную непрерывную часть системы. Реакция приведенной непрерывной части на мгновенный импульс представляет собой ее импульсную функцию

w_пнч(t) = L^-1[W_ПНЧ(s)], (1.55)

где L^-1 - знак обратного преобразования Лапласа.

На основании принципа суперпозиции можно определить выходную величину разомкнутой линейной импульсной системы

w_пнч(t-kT) . (1.56)

Очевидно, что непрерывно меняющаяся выходная величина разомкнутой импульсной системы определяется мгновеными значениями входного воздействия в дискретные моменты времени t = nT.

Для дискретных моментов времени

w_пнч[n-k,s] . (1.57)

Последнее выражение устанавливает связь между входной g и выходной y величинами разомкнутой импульсной системы, которые представлены решетчатыми функциями.

Подвергнув формулу (1.57) z-преобразованию, на основании свертки функций получим уравнение разомкнутой импульсной системы в изображениях:

Y(z,s) = W(z,s)G(z), (1.58)

где Y(n,s)=Z_s{y[n,s]}; G(z)=Z{g[n]}; W(z,s)=Z_s{w_пнч[n,s]}.

Выражение

w_пнч[n,s]z^-n (1.59)

называется дискретной передаточной функцией разомкнутой импульсной системы .

Особенностью дискретной передаточной функции, как следует из (1.59), является то, что она зависит от относительного времени s, т.е. изменяется с течением времени внутри каждого периода дискретности.

Однако большинство задач по исследованию дискретных систем может быть решено при использовании передаточной функции W(z).

При практических расчетах часто представляют z-преобразование непрерывной функции w_пнч(t) в виде выражения

W(z,s)=Z_s{W_ПНЧ(s)}. (1.60)

Таким образом, дискретная передаточная функция определяется по импульсной функции приведенной непрерывной части системы. В случае, когда приведенная непрерывная часть состоит из параллельно включенных звеньев и ее передаточная функция

W_ПНЧ(s) = W_i(s),

дискретная передаточная функция может быть определена суммированием передаточных функции, определенных для каждого звена в отдельности:

W(z) = W_i(z).

В отличие от непрерывных систем подобное правило не имеет места для случая последовательно включенных звеньев с общей передаточной функцией

W_ПНЧ(s) = W_i(s)

и общим импульсным элементом на входе. В этом случае

W(z) ¹ W_i(z)

и передаточная функция W(z) должна определяться по результирующей импульсной функции приведенной непрерывной части системы.

Для нахождения дискретных передаточных функций можно пользоваться таблицами соответствий между функциями времени, их изображениями по Лапласу и их z-изображениями.

В большинстве случаев импульсный элемент формирует прямоугольные или близкие к прямоугольным импульсы длительности T_имп = gТ , то есть импульсная функция формирующего элемента имеет вид, представленный на рис. 1.9,а [15].

Рис. 1.9. Выходная величина формирующего элемента

Прямоугольный импульс единичной высоты и длительности gT можно представить как

В этом случае передаточная функция формирующего элемента

Отсюда

(1.61)

Тогда расчетное соотношение для дискретной передаточной функции разомкнутой импульсной системы можно получить из (1.60)

{ W_нч(s) }= W₁(z,s) - W_1g(z,s), (1.62)

где

{ W_нч(s) };

{ W_нч(s) }.

Передаточную функцию W_1g(z,s) можно выразить через передаточную функцию W₁(z,s) в соответствии с теоремой сдвига (1.32). В результате получим

При s = 0 W_1g(z) = z^-1 W₁(z,1-g).

Частные случаи.

1. Если импульсный элемент генерирует короткие по сравнению с периодом дискретности прямоугольные импульсы, т.е. g << 1, то можно приближенно принять е^{- gТs} »1 - gTs. Тогда получим

W(z,s) = gT Z_s{W_НЧ(s)}. (1.63)

Формула (1.63) справедлива, если пренебречь влиянием конечной длительности импульса. В большинстве случаев для выполнения достаточно, чтобы постоянные времени непрерывной части системы были больше длительности импульса, т.е. T _i >> gТ (i = 1, 2, 3, ...).

2. Если импульсный элемент генерирует прямоугольные импульсы, длительность которых совпадает с периодом дискретности, т.е. g = 1 (рис. 1.9,б). Подобным образом работают, например, системы с ЦВМ. Такой формирующий элемент называется экстраполятором нулевого порядка или запоминающим элементом. Дискретная передаточная функция в этом случае будет

{ W_нч(s)}= { }.

Таким образом, расчетное соотношение для дискретной передаточной функции разомкнутой цифровой системы упрощается:

(1.64)

Пример. Определить дискретную передаточную функцию импульсной системы, у которой импульсный элемент формирует прямоугольные импульсы длительности g = 0,2 с периодом дискретности T=1 c, а непрерывная часть задана передаточной функцией:

при k=10 c^-1 , T₁=2 c.

Р е ш е н и е . Дискретную передаточную функцию разомкнутой импульсной системы находим по выражению (1.62), представляя дробь W_нч(s)/s в виде суммы элементарных дробей:

.

С помощью таблицы соответствий найдем модифицированное z-преобразование для каждого из слагаемых в правой части полученного выражения:

,

где .

Частные случаи.

1. При s = 0

.

2. При s = 0 и g =1

.

3. При s = 0 и g << 1, так как T₁ >> gТ

.