Z - преобразования функций времени

 

x(t) X(s) x[nT] X(z) X(z,s)
d(t) d[nT] -
1(t) 1/s 1[nT] z/(z-1) z/(z-1)
t 1/s2 nT Tz/(z-1)2 Tz/(z-1)2+ + +Tsz/(z-1)
1/(s+a) z/(z-d) (d= ) . . .
  t2/2!   1/s3   (nT)2/2! . . .
1/(s+a)2 (d= ) . . .
  1/(s+a)3 (d= ) . . .

 

Для нахождения z-изображений решетчатых функций по заданному оригиналу и наоборот имеются специальные таблицы [2, 15, 17], фрагмент такой таблицы приведен выше. Необходимо отметить, что все функции времени, имеющие одинаковые значения в дискретные моменты времени, обладают одинаковыми z-преобразованиями и поэтому связь между функцией времени и ее z-изображением не является взаимно однозначной. Однако, семейство модифицированных z-преобразований решетчатой функции для всех s от 0 до 1 однозначно определяет непрерывную функцию.

Свойства z-преобразования изложены в [2], поэтому ограничимся рассмотрением некоторых из них, которые потребуются в дальнейшем.

1. Свойство линейности. Если F1(z,s)=Zs {f1(t)} и F2(z,s)=Zs {f2(t)}, то

Zs {a1f1(t) + a2f2(t)}= a1 F1(z,s) + a2 F2(z,s). (1.31)

 

2. Теорема сдвига (смещения). Если Zs {f(t)} = F(z,s) и t - произвольное положительное число, тогда

 

(1.32)

 

где , m - целая, - дробная часть числа t/T;

если t = mT, тогда

Zs {f(t-mT)}=z-mF(z,s). (1.33)

 

3. Изображение обратных разностей

 

Z{Ñkf[nT]}= (1 - z-1)kF(z). (1.34)

 

4. Изображение конечных сумм:

полных , (1.35)

неполных . (1.36)

 

5. Предельные значения. Если дискретные значения функции в установившемся режиме существуют, то они могут быть найдены путем следующего предельного перехода:

, (1.37)

начальное значение функции оригинала:

 

. (1.38)

 

6. Свертка функций. Если F1(z) = Z{f1(t)} и F2(z) = Z{f2(t)}, то

 

(1.39)

и

(1.40)

 

7. Формула обращения. Дискретные значения функции по ее z-преобразованию определяют следующим контурным интегралом:

 

(1.41)

8. Изображение разностных уравнений. Пусть разностное уравнение, связывающее выходную координату y[nT] импульсной системы с ее входным воздействием f[nT], имеет следующий вид:

 

a0y[n]+a1y[n-1]+...+amy[n-m] = b0f[n]+b1f[n-1]+...+blf[n-l], (1.42)

при m ³ l и y[n] º 0, f[n] º 0 для всех n < 0.

Подвергнув исходное уравнение z-преобразованию, получим

 

a0Y(z)+a1 z-1Y(z)+...+am z-mY(z) = b0F(z)+b1 z-1F(z)+...+bl z-lF(z),

 

которое можно переписать в виде

 

A(z)Y(z)=B(z)F(z), (1.43)

где полиномы

и . (1.44)

Из (1.43) находим изображение выходной координаты

 

Y(z)=W(z)F(z), (1.45)

где . (1.46)

 

По аналогии с определением передаточной функции непрерывных систем выражение W(z) называется дискретной передаточной функцией импульсной системы.

Данная запись отличается от передаточной функции для непрерывных систем тем, что переменная z в полиномах имеет отрицательные степени. Для того, чтобы была полная аналогия с передаточными функциями непрерывных систем, степень переменной z делают положительной путем домножения числителя и знаменателя выражения (1.46) на zm . Тогда получим формулу, которая полностью аналогична записи для непрерывной функции

. (1.47)

Задача получения разностного уравнения по дискретной передаточной функции решается в обратной последовательности.

Пример.Написать разностное уравнение, связывающие выходную координату у[nT] и входное воздействие f[nT] импульсной системы, заданной передаточной функцией

.

Решение. Домножим числитель и знаменатель W(z) на z-2. В результате получим

.

На основании последнего выражения разностное уравнение будет

 

a0y[n] + a1y[n-1] + a2y[n-2] = b1f[n-1] + b2f[n-2].

 

Его решение при нулевых начальных условиях y[n] º 0, f[n] º 0 для всех n < 0:

 

y[n] = [1/a0]´{b1f[n-1] + b2f[n-2] - a1y[n-1] - a2y[n-2]}.

 

Полученному решению соответствует структурная схема, приведенная на рис. 1.5.

Рис. 1.5. Структурная схема импульсной системы

 

Комплексный спектр решетчатой функции времени.Комплексный спектр решетчатой функции времени f[n,s] представляет собой комплексную функцию вещественного переменного w, определяемую следующим выражением:

при -¥ < w < ¥ . (1.48)

 

Таким образом, для получения комплексного спектра необходимо в изображении решетчатой функции произвести замену z = ejwT, откуда следует, что функция z является периодической функцией w с периодом, равным 2p/T. По этой причине комплексный спектр решетчатой функции также является периодической функцией w того же самого периода:

(1.49)

 

и, следовательно, может рассматриваться на любом интервале значений w, длина которого равна 2p/T. В качестве такого интервала принят интервал

(1.50)

 

Подобно любой комплексной функции спектр (1.48) может быть представлен в показательной или алгебраической форме записи:

 

F(ejwT,s) = А(w, s)´ejy(w, s) = U(w, s) + jV(w, s), (1.51)

 

где A(w, s), y(w, s), U(w, s), V(w, s) называются соответственно амплитудным, фазовым, вещественным и мнимым спектрами решетчатой функции f[n,s]. При фиксированном значении w спектр (1.51) изображается вектором в плоскости (U, jV); при изменении w от -p/T до +p/T, конец вектора F(ejwT,s) прочерчивает некоторую кривую, которая является графическим изображением спектра.








Дата добавления: 2015-06-01; просмотров: 2537; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию, введите в поисковое поле ключевые слова и изучайте нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам понравился данный ресурс вы можете рассказать о нем друзьям. Сделать это можно через соц. кнопки выше.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2021 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.013 сек.