Условия устойчивости импульсных систем

Сложность условий устойчивости резко возрастает с ростом степени m характеристического полинома замкнутой системы. Поэтому практически алгебраический критерий используется при m £ 3.

Аналог критерия Михайлова. Для устойчивости линейной импульсной системы m-го порядка необходимо и достаточно, чтобы изменение аргумента функции D(e ^jwT) при изменении частоты w от 0 до p/T равнялось бы значению mp, то есть

D arg D (e ^jwT) = mp , 0 £ w £ p/T. (1.97)

Здесь D (e ^jwT) получается путем замены z на e ^jwT в характеристическом полиноме замкнутой импульсной системы

D(z) = a₀z^m + a₁z^m-1 + ... + a_m-1z + a_m , z = e ^jwT.

На рис. 1.14 приведены аналоги кривых Михайлова для устойчивой и неустойчивой импульсной системы при m = 3.

Рис. 1.14. Аналоги годографов Михайлова

Аналог критерия Найквиста. Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой импульсной системы требуется, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой импульсной системы W(e^jwT) не охватывала точку с координатами (-1, j0 ). Для устойчивости замкнутой системы при неустойчивой разомкнутой цепи требуется, чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой цепи охватывала точку (-1, j0) на угол pp (против часовой стрелки), где p - число полюсов разомкнутой цепи, лежащих вне единичного круга z = e ^jwT.

Рис. 1.15.АФЧХ устойчивых импульсных систем

На рис. 1.15 показаны амплитудно-фазовые частотные характеристики устойчивых импульсных систем.

Для пользования критериями устойчивости Гурвица и Михайлова в обычной формулировке отображают внутренность круга единичного радиуса плоскости z на левую полуплоскость комплексной переменной w (рис. 1.16) с помощью конформного преобразования [5]

(1.98)

Рис. 1.16. Конформное преобразование

После подстановки z из (1.98) в (1.95) получим преобразованное характеристическое уравнение импульсной системы

, (1.99)

которое приводится к виду

. (1.100)

Все корни z_i уравнения (1.95), лежащие внутри единичного круга, перейдут в левую полуплоскость w (рис. 1.16). Поэтому при использовании преобразованного характеристического уравнения (1.100) для устойчивости импульсной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни w_i (i = 1, 2, ..., m) имели отрицательные вещественные части. Границей устойчивости служит мнимая ось.

Для исследования устойчивости импульсных систем могут применяться также логарифмические частотные характеристики в той же формулировке, что и для обыкновенных линейных систем.