Виды колебательных движений материальной точки

Колебательное движение материального тела происходит при условии, когда на него действует сила, стремящаяся вернуть его в положение статического равновесия. Такую силу называют восстанавливающей.

Восстанавливающая сила – сила, стремящаяся вернуть тело или точку в положение статического равновесия.

Примером такой силы является сила упругости F_yn пружины (рис. 2.1).

Рассмотрим движение тела весом G по гладкой горизонтальной поверхности в инерциальной системе отсчёта OYZ. Начало системы отсчёта поместим в положение статического равновесия тела. В этом случае пружина не деформирована и имеет размер l₀. В положении статического равновесия (см. рис. 2.1,а) на тело действуют активная сила G (сила тяжести) и реакция N гладкой поверхности.

Если из исходного положения равновесия тело переместить на расстояние Y₀ и сообщить ему начальную скорость V₀, то оно будет совершать поступательное движение.

Из курса кинематики известно, что уравнения поступательного движения тела такие же, как и уравнения движения точки. На основании изложенного движение этого тела можно рассматривать как движение материальной точки массой m = G/g, на которую действуют активная сила G (сила тяжести) и реакции N, F_yn внешних связей (рис. 2.1,б). В рассматриваемом случае основное уравнение динамики имеет вид

m·a = ΣF_i^E + ΣR_i^E = G+ N+ F_yn.

Сила F_yn является реакцией деформированной пружины. Сила F_yn всегда направлена к положению статического равновесия точки. Из рис. 2.1 видно, что деформация Δ пружины является переменной величиной и равна модулю координаты Y точки в системе отсчёта OYZ.

Модуль силы упругости пропорционален её деформации:

F_yn = c·Δ = c·Y,

где с – коэффициент жёсткости пружины, численно равный силе упругости при её деформации Δ = 1 м.

Коэффициент жесткости является конструктивной характеристикой пружины. Этот коэффициент имеет размерность [Н/м].

Таким образом, сила F_yn упругости деформированной пружины всегда направлена к началу системы отсчёта (положению статического равновесия точки) и пропорциональна величине отклонения точки от этого положения. Другими словами, сила упругости относится к разряду восстанавливающих сил, зависящих от положения точки.

Колебания могут происходить и под действием восстанавливающих сил, изменяющихся по другим законам.

В инженерных расчётах широкое применение получили четыре основных случая колебательного движения материальной точки:

1) свободные колебания, вызванные постоянной системой сил и восстанавливающей силой;

2) колебания, совершаемые под действием постоянной системы сил, восстанавливающей силы и силы сопротивления движению, пропорциональной первой степени скорости;

3) вынужденные колебания, осуществляющиеся под действием постоянной системы сил, восстанавливающей силы и возмущающей силы, изменяющейся по периодическому закону;

4) вынужденные колебания, происходящие под действием постоянной системы сил, восстанавливающей силы, силы сопротивления движению, пропорциональной первой степени скорости, и возмущающей силы, изменяющейся по периодическому закону.

Рассмотрим последовательно эти колебания.