Силы и силы сопротивления движению

Рассмотрим движение материальной точки по гладкой горизонтальной поверхности, происходящее под действием постоянной системы сил, восстанавливающей силы и силы сопротивления движению, пропорциональной первой степени скорости (рис. 2.4).

Как и ранее, начало системы отсчёта поместим в положение статического равновесия точки. В этом положении пружина не деформирована, т. е. имеет длину l₀. При оформлении рис. 2.4 используются рекомендации, приведённые в алгоритме решения вторых задач динамики точки.

Основное уравнение динамики в рассматриваемом случае имеет вид

m·a = ΣF_i^Е + ΣR_i^Е = G + N + R_c + F_yn,

где G – сила тяжести; N – нормальная реакция; R_c – сила сопротивления движению точки; F_yn – сила упругости пружины.

Так как силы G и N на кинематические параметры точки не влияют, то они на рис. 2.4 не показаны.

Сила R_c сопротивления движению точки зависит от внешней среды, в которой эта точка перемещается.

Рассмотрим вариант, при котором сила R_c пропорциональна первой степени скорости V точки. Примером такой силы является сопротивление воздуха при движении тела. В этом случае силу R_c определяют по формуле R_c = – α·V, где α – постоянный коэффициент пропорциональности, имеющий размерность [Н/(м/с)]. Коэффициент α численно равен силе сопротивления при скорости движения точки, равной 1 м/с. Сила сопротивления R_c всегда направлена в сторону, противоположную направлению скорости V.

Запишем дифференциальное уравнение горизонтального движения точки:

m· = Σ + Σ = – α· – c·Y.

Это уравнение приведем к виду

+ (α/m)· + (c/m)·Y = 0.

Введем условные обозначения: α/m = 2n; c/m = k². С учетом коэффициентов n, k дифференциальное уравнение движения приводится к стандартному виду:

+ 2n· + k²·Y = 0,

где n – коэффициент, характеризующий сопротивление среды и имеющий размерность [рад/с] или [c^-1].

В зависимости от соотношения величин n и k материальная точка может совершать или колебательное, или апериодическое (не колебательное) движение.