Восстанавливающей силы и возмущающей силы

 

 

Практически наиболее важным является случай, при котором возмущающая сила Q изменяется по гармоническому закону, т. е. проекцию QOY этой силы на ось ОY определяют по закону

QOY = H·sin(p·t + δ),

где Н – максимальный модуль, или амплитуда возмущающей силы; р – частота возмущающей силы, равная числу полных циклов изменения возмущающей силы за промежуток времени, равный 2π = 6,28 с; p·t + δ – фаза возмущающей силы; δ – начальная фаза возмущающей силы.

Период τ изменения возмущающей силы определяют по его частоте:

τ = 2π/р.

Рассмотрим движение материальной точки на гладкой горизонтальной поверхности, происходящее под действием постоянной системы сил, восстанавливающей силы и возмущающей силы, изменяющейся по периодическому закону (рис. 2.9).

Начало системы отсчёта ОY поместим в положение статического равновесия материальной точки, соответствующее недеформированной пружине.

Основное уравнение динамики точки для рассматриваемого положения имеет вид

a = ΣFiЕ + ΣRiЕ = G+ Q+ N+ Fyn,

где G – сила тяжести; Q – возмущающая сила; N, Fyn – соответственно реакция гладкой поверхности и реакция растянутой пружины.

 


Следует отметить, что силы G и Q относятся к разряду активных сил, а силы N и Fyn отнесены к реакциям связей. Так как силы G и N не влияют на горизонтальное движение точки, то они на рис. 2.9 не показаны.

Запишем дифференциальное уравнение горизонтального движения точки:

= Σ + Σ = H·sin(p·t + δ) – c·Y.

Это уравнение приведём к виду

+ (c/m)·Y = (H/m)·sin(p·t + δ),

где c/m = k2 – квадрат частоты свободных колебаний.

Введём условное обозначение h = H/m [м/с2]. Тогда

+ k2·Y = h·sin(p·t + δ).

Последнее выражение представляет собой дифференциальное уравнение вынужденных колебаний точки под действием постоянной системы сил, восстанавливающей силы и возмущающей силы, изменяющейся по периодическому закону.

Общее решение этого уравнения складывается из общего решения Y* дифференциального уравнения + k2·Y = 0 и частного решения Y** дифференциального уравнения + k2·Y = h·sin(p·t + δ).

Y = Y* + Y**;

Y*= C1·cos(k·t) + C2·sin(k·t) = A·sin(k·t + β);

Y** = (h/(k2 – p2))·sin(p·t + δ).

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний материальной точки приводится к виду

Y = C1·cos(k·t) + C2·sin(k·t) + (h/(k2 – p2))·sin(p·t + δ)

или к виду

Y = A·sin(k·t + β) + (h/(k2 – p2))·sin(p·t + δ),

где С1, С2, А, β – постоянные интегрирования, определяемые по начальным условиям движения точки.

Последнее уравнение показывает, что точка совершает сложное колебательное движение, складывающееся из двух гармонических колебаний. Первый член этого уравнения определяет свободные колебания, а второй – вынужденные колебания точки.

Таким образом, при одновременном действии восстанавливающей и возмущающих сил материальная точка совершает сложное колебательное движение, представляющее собой результат наложения свободных и вынужденных колебаний.

Следует отметить, что Y** не содержит постоянных интегрирования и, следовательно, вынужденные колебания не зависят от начальных условий движения.

Вынужденные колебания, частота р которых меньше частоты k свободных колебаний (р < k), называют вынужденными колебаниями малой частоты.

Если р > k, то эти колебания называют вынужденными колебаниями большой частоты.

При вынужденных колебаниях малой частоты (р < k) эти колебания выражаются зависимостью

Y** = (h/(k2 – p2))·sin(p·t + δ).

В этом случае фаза колебаний (p·t + δ) совпадает с фазой возмущающей силы и, следовательно, материальная точка всегда отклонена от положения статического равновесия в ту сторону, в которую направлена в данный момент возмущающая сила Q (рис. 2.10).


Амплитуду Ав вынужденных колебаний определяют по формуле

Ав = h/(k2 – p2).

При вынужденных колебаниях большой частоты (р > k) эти колебания выражаются зависимостью

Y** = (h/(р2 – k2))·sin(p·t + δ – π).

В этом случае амплитуду Ав вынужденных колебаний находят по формуле

Ав = h/(р2 – k2).


Фаза вынужденных колебаний большой частоты (p·t + δ – π) отличается от фазы возмущающей силы (p·t + δ) на величину π, т. е. фазы вынужденных колебаний и возмущающей силы противоположны. Это означает, что отклонение точки от начала координат О всегда противоположно направлению возмущающей силы Q в данный момент (рис. 2.11).

Необходимо отметить, что при вынужденных колебаниях и малой (р < k) и большой частотах (р > k) максимальное отклонение точки от начала координат происходит в момент времени, когда модуль Q возмущающей силы Q достигает максимального значения Н (Qmax = H).

В общем случае уравнения движения точки под действием постоянной системы сил, восстанавливающей и возмущающей сил записывают в следующем виде:

если р < k, то Y = A·sin(k·t + β) + (h/(k2 – p2))·sin(p·t + δ);

если р > k, то Y = A·sin(k·t + β) + (h/(р2 – k2))·sin(p·t + δ – π).

На рис. 2.12 приведены общие виды графиков зависимостей Y* = f1(t), Y** = f2(t), Y = f3(t) для случая, когда р > k, и начальных условий Y0 > 0; > 0.

При определении величины амплитуды вынужденных колебаний Ав зачастую используют коэффициент динамичности η. Для этого вводят статическое отклонение Δ0 точки от положения статического равновесия (рис. 2.13) под действием постоянной силы Н, модуль H которой равен амплитуде возмущающей силы Q:

H = Qmax.

Модуль силы Fyn пружины при действии на последнюю постоянной силы Н определяют по формуле

Fyn = с·Δ0,

где Δ0 – деформация пружины.

 


 

Из условия равенства модулей сил Fyn и Н имеем:

Н = Fyn = с·Δ0.

Из последнего выражения определим деформацию пружины:

Δ0 = H/c = (H/m)/(c/m) = h/k2.

Отношение амплитуды вынужденных колебаний Ав к величине Δ0 деформации пружины при действии на неё постоянной силы Н называют коэффициентом динамичности η.

При р < k η = Ав/ Δ0 = 1/(1 – p2/k2).

При р > k η = Ав/ Δ0 = 1/(p2/k2 – 1).

Зная величину коэффициента динамичности η и деформацию пружины Δ0, нетрудно определить амплитуду вынужденных колебаний:

Ав = η·Δ0.

 
 

На рис. 2.14 приведен общий вид графика зависимости η = f(p/k).

Анализ этого графика показывает, что при увеличении частоты возмущающей силы от р = 0 до р = k коэффициент динамичности η возрастает от единицы до бесконечности, а при дальнейшем увеличении коэффициент динамичности убывает от бесконечности до нуля.

При р = k коэффициент динамичности η равен бесконечности. Этот случай вынужденных колебаний называют явлением резонанса.

Общее решение дифференциального уравнения

+ k2·Y = h·sin(p·t + δ) = 0

в условиях резонанса имеет вид:

Y = Y*+ Y** = A·sin(k·t + β) + (h/2k)·t·sin(k·t + δ – π/2).

При частоте возмущающей силы, близкой к частоте свободных колебаний точки (p ≈ k), наступает явление, называемое биениями. Уравнение биений имеет следующий вид:

Y = (2h/(k2 – p2))·(sin((p – k)/2)·t)·cos(p·t + δ).

Поскольку студенты не выполняют курсовых заданий на резонанс и биения, то эти явления подробно в данном учебно-методическом пособии не излагаются. Они даны для общего ознакомления.

 

 








Дата добавления: 2015-05-30; просмотров: 2346;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.013 сек.