Определение. Момент k-го порядка величины называется центральным моментом k-го порядка.
Особую роль играет второй центральный момент, который называется дисперсией и обозначается .
Определение. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания:
. (6.3.5)
Свойства дисперсии.
1. Дисперсия постоянной величины равна нулю, т.е.
. n
2. Дисперсия является неотрицательной величиной, т.е. .
3. Для любых действительных чисел и справедливо равенство
.
Доказательство. Из свойства 2 математического ожидания получаем:
n
4. .
Доказательство. Используя определение дисперсии и свойства 2 и 3 математического ожидания, получаем:
n
5. Если и независимые случайные величины, дисперсия суммы случайных величин равна сумме дисперсий случайных величин, т.е.
.
Доказательство. Если и независимые случайные величины, то и случайные величины и будут независимыми. Тогда, используя свойства 2-4 математического ожидания, получаем:
n
Очевидно, что дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины . Для практических же целей удобно иметь числовую характеристику, размерность которой совпадает с размерностью .
Определение. Средним квадратичным отклонением случайной величины ξ называется выражение, вычисляемое по формуле:
. (6.3.6)
Пример 12.Найти дисперсию случайной величины , плотность которой имеет вид (равномерно распределенной на отрезке ):
m Решение. Используя определение дисперсии , формулу для вычисления дисперсии непрерывной случайной величины (6.3.2) и результат примера 4, получаем:
.l
Пример 13.Найти дисперсию случайной величины , распределенной по нормальному закону с параметрами (см. Пример 4).
m Решение. Используя определение дисперсии , формулу для вычисления дисперсии непрерывной случайной величины (6.3.2) и результат примера 5, получаем:
. (6.3.5)
Делаем замену или , при этом . В этом случае выражение (6.3.5) примет вид:
l
Пример 14.При условии примера 11 найти дисперсию случайной величины .
m Решение. Рассмотрим 1 способ нахождения дисперсии, используя ряд распределения случайной величины , найденный в примере 12,
и свойство 4 дисперсии, получим:
Напомним, что математическое ожидание было найдено в примере 12.
Перейдем ко второму способу нахождения математического ожидания случайной величины . Используя свойство 5 дисперсии случайной величины, получим:
, ,
, ,
, . l
Дата добавления: 2015-05-28; просмотров: 808;