Свойства математического ожидания.

1. Математическое ожидание постоянной равно самой этой постоянной, т.е.

, где .

Доказательство. Постоянную можно рассматривать как случайную величину, принимающую только одно значение с вероятностью 1. Следовательно,

. n

2. .

Доказательство. Пусть — непрерывная случайная величина. Тогда для случайной величины по формуле (6.2.4.) получаем:

Аналогично доказывается и для дискретной случайной величины. n

3. Для любых случайных величин и математическое ожидание их суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий, т.е.

.

Доказательство. Пусть случайные величины и — дискретные. Случайная величина принимает значения _, а случайная величина принимает значения . Рассмотрим случайную величину . Случайная величина принимает значения с вероятностями . Тогда:

При доказательстве воспользовались тем, что

и .

Действительно, учитывая, что

,

то

,

аналогично доказывается, что

.

Аналогично доказывается и для непрерывной случайной величины. n

4. Если и независимые случайные величины, то математическое ожидание произведения случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е.

.

Доказательство. Пусть величины и — дискретные. В силу независимости случайных величин имеет место равенство:

. Тогда

Аналогично доказывается и для дискретной случайной величины. n

Заметим, что свойство 3 допускает обобщение на сумму любого числа слагаемых, а свойство 4 допускает обобщение на произведение любого числа независимых (в совокупности) сомножителей.

Пример 9.Найти математическое ожидание случайной величины — число успехов в схеме Бернулли.

m Решение. Представим число успехов в схеме Бернулли из n испытаний в виде , где — число успехов в i-ом испытании. Очевидно, что . По свойству 3 математического ожидания, получаем

.

Этот результат совпадает с результатом примера 3, но получен более легкими вычислениями. l

Пример 10.Производится ряд независимых опытов, в каждом из которых может появиться событие A. Вероятность события A в каждом опыте равна p. Опыты производятся до первого появления события А, после чего они прекращаются. Случайная величина — число произведенных опытов. Найти .

m Решение. Рассмотрим событие , в этом случае событие A произошло при первом опыте, т.о. . Перейдем к событию , в этом случае событие A при первом опыте не произошло, но произошло при втором опыте, т.о. .

Производя аналогичные рассуждения, получаем ряд распределения:

				…
				…

Используя формулу (6.1.1), получим:

Таким образом, математическое ожидание равно . l

Пример 11.Независимые случайные величины и заданы своими рядами распределений:

Для случайной величины найти математическое ожидание двумя способами:

1) по определению математического ожидания;

2) по свойствам математического ожидания.

m Решение. Рассмотрим 1 способ нахождения математического ожидания. Для этого составим ряд распределения случайной величины . Для этого удобно воспользоваться таблицей сумм и соответствующих им вероятностей. Например: .

Далее очень легко получить ряд распределения случайной величины .

Естественно, можно было бы обойтись и без таблицы. Например:

Используя ряд распределения, находим математическое ожидание

.

Перейдем ко второму способу нахождения математического ожидания случайной величины . Используя свойство 3, получим:

.l