Функция от случайных величин
Пусть — случайная величина. Пусть задана функция . Каждому элементарному исходу поставим в соответствие число по формуле . Тем самым получим случайную величину , называемую функцией от случайной величины .
Пусть — дискретная случайная величина. Тогда случайная величина также является дискретной случайной величиной, поскольку она не может принимать больше значений, чем случайная величина . Очевидно, что ряд распределения случайной величины имеет вид:
… | ||||
… |
При этом, если в верхней строке ряда распределения появляются одинаковые значения , то соответствующие столбцы необходимо объединить в один, приписав им суммарную вероятность.
Пример 9.Случайная величина ξ имеет ряд распределения:
-2 | -1 | ||||
0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,3 | 0,1 |
Найти закон распределения случайной величины .
m Решение. Составим ряд распределения случайной величины :
0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,3 | 0,1 |
Объединив первый и пятый, второй и четвертый столбцы, получим:
0,3 | 0,5 | 0,2 |
Ряд распределения случайной величины получен. l
Пусть — непрерывная случайная величина. При этом случайная величина может быть как непрерывной, так и дискретной. Будем рассматривать непрерывные функции . Пусть случайная величина имеет плотность . Тогда
. (5.5.1)
Пример 10.Пусть случайная величина имеет плотность
.
Найти распределение случайной величины .
m Решение. В данном случае . Согласно (5.5.1), получим
.
Очевидно, что при , функция распределения равна нулю, т.е. . При область совпадает с областью . Отсюда получаем
. l
Выведем более удобные формулы для вычисления функции , где .
Теорема. Пусть — непрерывная случайная величина с плотностью , а случайная величина связана с функциональной зависимостью
,
где — дифференцируемая функция, монотонная на всем участке возможных значений аргумента .
Тогда плотность распределения случайной величины выражается формулой
, (5.5.2)
где — функция, обратная по отношению к функции .
Доказательство. Пусть — монотонно возрастающая функция. Тогда
.
Продифференцировав последнее равенство, получаем
. (5.5.3)
Пусть — монотонно убывающая функция. В этом случае и, следовательно, . Отсюда получаем:
Продифференцировав последнее равенство, получаем
. (5.5.4)
Учитывая свойства модуля, равенства (5.5.3) и (5.5.4) объединим в одно
,
что совпадает с (5.5.2). n
Пример 11. Случайная величина распределена равномерно в интервале . Найти закон распределения случайной величины .
m Решение. Функция в интервале монотонна, следовательно, можно применить формулу (5.5.2). Решение задачи удобно расположить в виде таблицы, содержащей три столбца: в первом запишем план решения задачи; во втором столбце запишем обозначения функций, принятые в общем случае; в третьем — конкретные функции, соответствующие данному примеру:
Плотность случайной величины | ||
Функциональная зависимость между случайными величинами и | ||
Обратная функция | ||
Модуль производной обратной функции | ||
Плотность случайной величины |
Интервал , в котором лежат значения случайной величины , определяется областью значений функции для . l
Следствие из теоремы. Если — немонотонная функция, то обратная к ней функция неоднозначна, и плотность распределения случайной величины определяется в виде суммы стольких слагаемых, сколько значений (при данном значении ) имеет обратная функция:
, (5.5.5)
где — значения обратной функции для данного .
Пример 12. Случайная величина распределена равномерно в интервале . Найти плотность распределения случайной величины .
m Решение. Функция немонотонная в интервале , ее значения лежат в интервале (0,1). В данном случае для любого обратная функция будет иметь два значения:
Плотность случайной величины | ||
Функциональная зависимость между случайными величинами и . | ||
Обратная функция | ||
Модуль производной обратной функции | ||
Плотность случайной величины |
. l
Дата добавления: 2015-05-28; просмотров: 1089;