Определение надежности технических систем при постоянно включенном резерве («горячее» резервирование).

6.1. Количественные показатели надежности резервированной системы с постоянно включенным резервом.

Будем исследовать надежность технической системы, состоящей из одного основного и m резервных устройств, т.е. содержащей m+1 устройство. При этом принимаются следующие допущения:

все устройства (основное и резервные) системы постоянно включены в работу и эксплуатируются в абсолютно одинаковых условиях нагружения;

отказ любого устройства не влияет на работу остальных работоспособных устройств;

отказ системы происходит в момент отказа последнего из (m+1) устройств;

в момент включения системы в работу (t=0) все устройства работоспособны;

все устройства (основное и резервные) абсолютно идентичны по показателям надежности;

отказы устройств представляют собой простейший поток случайных событий;

ремонт рассматриваемой технической системы невозможен.

Принятые допущения почти никогда не реализуются в практике, но они удобны для выводов основных показателей надежности технической системы, резервированной по способу постоянно включенного резерва.

Предполагая, что каждое устройство системы состоит из n элементов, отказы которых являются случайными и независимыми событиями, вероятность p_j(t) безотказной работы любого из (m+1) устройства можно принять равной произведению вероятностей безотказной работы его отдельных элементов:

(6.1)
где p_ij(t) –– вероятность безотказной работы i-го элемента j-го устройства в течение времени t; n_j –– число элементов в j-м устройстве.

Учитывая принятую гипотезу об идеальности коммутаторов, вероятность отказа Q_C(t) технической системы будет равна:

(6.2)
Если рассматривается система с однотипными устройствами, то все Q_j(t) равны между собой и можно принять обозначение:

(6.3)
тогда вероятность отказа системы в течение времени t может быть определена выражением:

(6.4)
где р(t) –– надежность одного (любого) устройства технической системы.

С учетом (6.1) можно записать:

(6.5)
Формулы (6.2)…(6.5) просты и удобны при вычислении различных показателей надежности резервированной системы. Так, если задана надежность р(t) резервирующих устройств (включая основное), то можно найти необходимую кратность резервирования, чтобы обеспечить требуемую надежность Р_тр системы в целом:

из неравенства

(6.6)
получим

(6.7)
Например, для достижения требуемой надежности системы Р_тр= 0.99 к заданному моменту времени t при известных значениях надежности одного устройства р_j(t) Î [0.1 , 0.8], число резервных устройств m (при общем их числе m+1) будет соответствовать данным табл. 6.1 и рис. 6.1.

Таблица 6.1.

Требуемая кратность резервирования

В свете принятой гипотезы о простейшем потоке отказов, выражение для определения надежности p_i(t) i-го элемента, входящего в состав одного из резервирующих устройств технической системы будет иметь вид:

(6.8)
где l_i –– интенсивность отказов i-го элемента устройства.

(6.9)
где l₀ –– интенсивность отказов устройства (любого)

(6.10)
С учетом выражений (6.8)…(6.10) надежность P_C(t) и ненадежность Q_C(t) системы, резервированной по способу «горячего» резерва и состоящей из одного основного и m резервных однотипных устройств могут быть вычислены по формулам:

(6.11)

(6.12)
Среднее время Т_С безотказной работы системы определим из следующих рассуждений. В общем виде среднее время определяется как математическое ожидание случайной величины, имеющей плотность распределения f(t).

(6.13)

(6.14)

Введем обозначения

и применяем интегрирование по частям

Поскольку убывает при x ® ¥ быстрее, чем возрастает x, следовательно,

(6.15)
Окончательно получаем

(6.16)
С учетом (6.11), получаем:

(6.17)
Введем обозначение:

тогда после дифференцирования получим

откуда

при этом происходит изменение пределов интегрирования. При t=0 z_j=0. При t=¥ z_j=1, и выражение (6.17) с учетом выкладок Приложения 1 приобретает вид:

(6.18)
Далее

(6.19)
Подставив пределы интегрирования, получим окончательное выражение для среднего времени безотказной работы системы, при «горячем» резервировании:

(6.20)
Частота и интенсивность отказов резервированной системы вычисляется на основе выражений:

(6.21)
Используя (6.11), (6.12), получим:

(6.22)

(6.23)
Для высоконадежных систем, в случае выполнения условия:

(6.24)
допустимо упрощение:

(6.25)
Тогда выражения для вычисления основных количественных характеристик надежности резервированной системы с постоянно включенным резервом могут быть записаны в виде:

	(6.26)
	(6.27)
	(6.28)
	(6.29)

Рис. 6.2. Изменение надежности системы в зависимости от кратности резервирования m и параметра а=l_jt

резервирования

Подводя итог, можно констатировать:

«горячее» резервирование повышает вероятность безотказной работы системы в сравнении с надежностью нерезервированной системы, причем с увеличением кратности резервирования надежность технической системы повышается;

среднее время безотказной работы резервированной системы с увеличением кратности резервирования растет медленно;

частота отказов резервированной системы вне зависимости от кратности резервирования имеет нулевое значение в начальный момент времени работы системы, имеет максимум и стремится к частоте отказов нерезервированной системы при достаточно больших значениях l_jt; максимум функции находится в точке ;

интенсивность отказов резервированной системы также равна нулю в момент включения системы в работу и асимптотически приближается к интенсивности отказов нерезервированной системы при больших значениях l_jt.

Рис. 6.4. Изменение частоты отказов в течение времени эксплуатации системы при различной кратности резервирования и l_j=0.015.

Рис. 6.5. Изменение интенсивности отказов системы в течение времени ее эксплуатации при различной кратности резервирования и l_j=0.015.

Из приведенных выводов становится очевидным, что времена возникновения отказов резервированной системы нельзя отнести к стационарным потокам, хотя времена отказов резервных устройств являются простейшим потоком случайных событий. Это означает, что в общем случае среднее время безотказной работы и интенсивность отказов системы не равны соответственно среднему времени между соседними отказами и средней частоте отказов системы. Поэтому оценивать надежность резервированной системы с помощью среднего времени безотказной работы и интенсивности отказов системы можно только до первого ее отказа. Оценивать надежность резервированных систем длительного использования, работающих в режиме замены отказавших устройств следует на основе вычислений среднего времени между соседними отказами и средней частоты отказов, несмотря на то, что времена отказов резервных устройств удовлетворяют условиям простейшего потока случайных событий.

6.2. Расчетно-графическая работа № 3.

Исследование свойств структурно резервированных систем при общем резервировании с постоянно включенным резервом («горячее» резервирование).

Показателями эффективности различных методов повышения надежности могут быть выигрыши надежности по вероятности отказа G_Q или по среднему времени безотказной работы G_T.

Выигрышем надежности называется отношение показателя надежности резервированной системы к соответствующему показателю надежности нерезервированной системы.

Вероятность безотказной работы резервированной системы с кратностью резервирования m (система состоит из одного основного элемента и m дублирующих, т.е. всего в системе m+1 элемент) определяется с помощью (6.11).

Выигрыш по вероятности отказа представляется отношением:

(6.30)
Выигрыш по среднему времени безотказной работы (см. 6.20):

(6.31)
где Q₀(t), T₀ –– вероятность отказа и среднее время безотказной работы исходного (основного) устройства системы; Q_C(t), T_c –– вероятность отказа и среднее время безотказной работы резервированной технической системы;

(6.32)
представляет собой интенсивность отказов исходной (нерезервированной) системы, состоящей из n элементов, интенсивность отказов каждого из которых равна l_i.

Анализ выигрышей надежности позволяет сформулировать следующие важные свойства структурного резервирования:

чем более надежная система и чем больше время ее безотказной работы, тем выше эффективность резервирования;

чем выше кратность резервирования, тем выше выигрыш надежности по любому из критериев, однако скорость роста выигрыша убывает с увеличением кратности резервирования;

при резервировании с постоянно включенным резервом значительное повышение кратности резервирования ведет к несущественному повышению среднего времени безотказной работы системы;

Интенсивность отказов резервированной системы определяется с помощью выражения (6.23)

При t=0 интенсивность отказов системы l_С(0)=0 и с ростом времени t l_С(t) асимптотически стремится к интенсивности отказов нерезервированной системы.

Исходными данными для решения каждого варианта расчетной работы являются: число элементов каждого устройства, равное 10, кратность резервирования равная 2 или 3, или 4, интенсивности отказов элементов устройства определяемые с помощью датчика случайных чисел ПК.

Требуется определить изменение во времени критериев (6.30), (6.31) при времени работы системы равной 2×Т_С.

Сделать вывод о рациональности резервирования системы.

Последовательность выполнения расчетно-графической работы.

По формуле (6.32) рассчитывается интенсивность отказов нерезервированной системы.

По формуле (6.31) определяется выигрыш по среднему времени безотказной работы сравниваемых систем в зависимости от кратности резервирования.

По формуле (6.30) строится функция выигрыша резервированной системы по вероятности отказа.

По формуле (6.23) строится функция изменения интенсивности отказов резервированной системы l_С(t).

Вопросы для самоконтроля.

Приведите вывод функции изменения вероятности безотказной работы технической системы, резервированной по принципу «горячего» резервирования.

Объясните, каким образом можно рассчитать требуемую кратность резервирования технической системы при постоянно включенном резерве.

По каким критериям можно оценить эффективность «горячего» резервирования в сравнении с однотипной нерезервированной системой?

В чем преимущества и недостатки резервирования при постоянно включенном резерве?

7. Нагрузочное резервирование.