Пример. Рассматривается система с нагрузочным резервированием и простейшим потоком отказов.

Рассматривается система с нагрузочным резервированием и простейшим потоком отказов.

Рис.7.3. Вид технической системы с нагрузочным резервированием, состоящей из одного основного и трех резервных устройств

Техническая система состоит из одного основного и трех одинаковых с основным резервных устройств (рис.7.3). Основное устройство подвергается простейшему потоку отказов с интенсивностью l₀. Каждое из резервных устройств до своего включения в работу на полную нагрузку подвергается простейшему потоку отказов с интенсивностью l₁ и после включения в работу эта интенсивность для соответствующего устройства мгновенно подскакивает до значения .

Система функционирует по алгоритму: после отказа основного устройства включается в работу устройство У₁, затем У₂ и т.д. Отказ системы адекватен отказу последнего из всех устройств. Переключающее устройство принимается идеальным.

Требуется определить надежность технической системы.

Состояние системы будем нумеровать двумя индексами. Первый индекс будем считать равным единице, если основное устройство находится в работоспособном состоянии, и равным нулю, если основное устройство отказало. Второй индекс будем принимать равным числу исправных резервных устройств. Тогда состояния системы принимают следующие обозначения:

S₁₃ –– в исправном состоянии находятся все четыре устройства технической системы (основное и три резервных);

S₁₂ –– исправно основное устройство, из трех резервных устройств одно отказало, два находятся в исправном состоянии;

S₁₁ –– основное устройство исправно и исправно одно резервное;

S₁₀ –– исправно только основное устройство, все три резервных отказали;

S₀₃ –– основное устройство отказало, все три резервных исправны;

S₀₂ –– основное устройство отказало, исправны два резервных устройства;

S₀₁ –– основное устройство отказало, работает только одно из резервных;

S₀₀ –– отказали все четыре устройства (произошел отказ системы).

₁

Рис.7.4. Размеченный граф состояний технической системы с «нагруженным» резервированием

Система уравнений Колмогорова для вероятностей состояний рассматриваемой системы имеет вид:

(7.14)

К этим уравнениям необходимо добавить условие:

, (7.15)
которое позволяет исключить одно (любое) из уравнений Колмогорова.

Интегрирование системы уравнений (7.14) может быть осуществлено в следующей последовательности: из первого уравнения находится функция P₁₃(t), равная

(7.16)
Это выражение подставляется во второе уравнение, которое теперь содержит только одну неизвестную функцию P₁₂(t), которую достаточно легко можно определить и подставить в третье уравнение, и т.д. На каждом шаге такого процесса новые выражения функций мы находим через уже известные, пока не доходим до функции P₀₀(t), которую выражаем через все остальные:

(7.17)
Теперь можно определить надежность P(t) рассматриваемой технической системы:

(7.18)
Пример изменения вероятностей нахождения системы в перечисленных выше состояниях, рассчитанных с помощью MathCad, приведен на рис. 7.5.

Рис.7.5 Изменение вероятностей состояния системы.

На рис. 7.5 введены обозначения:

P₁₃=Р_t,1, P₁₂=P_t,2, P₁₁=P_t,3, P₁₀=P_t,4, P₀₃=P_t,5, P₀₂=P_t,6, P₀₁=P_t,7, P₀₀=P_t,8.

n –– число шагов интегрирования,

расчеты проводились при l₁=5 ¹/_год, l₀=20 ¹/_год, =10 ¹/_год.

Несколько упростим задачу и примем следующие допущения:

отказы всех устройств технической системы представляют собой простейшие потоки случайных событий;

переключающие элементы абсолютно надежны и срабатывают мгновенно.

Первое допущение означает, что интенсивности отказов устройств не изменяются во времени и их распределение подчинено экспоненциальному закону. Кроме того, в силу идентичности устройств, интенсивности отказов устройств, находящихся в резервном режиме работы, равны между собой.

Пусть t₀ –– момент отказа основного устройства технической системы или резервного устройства, работавшего с полной нагрузкой. Обозначим через l_А интенсивность отказов устройства, работающего в активном (с полной нагрузкой) режиме, а через l_Р –– интенсивность отказов устройства, находящегося в резерве (в облегченном режиме нагружения). Изменение интенсивности отказов любого из резервных устройств происходит скачкообразно в момент перехода устройства в активный режим работы (рис.7.5).

Рис.7.6. Изменение интенсивности отказов резервных устройств.

Основное устройство технической системы имеет с момента включения технической системы интенсивность отказов, равную l_А.

Вывод основных показателей надежности технической системы, резервированной по принципу «теплого» резервирования, базируется на следующих рекуррентных соотношениях:

(7.19)

(7.20)
где Р₁(t) –– вероятность безотказной работы резервного устройства до момента его включения в активную (полную) нагрузку; Р₀(t-t) –– вероятность безотказной работы резервного устройства от момента t включения его в работу до момента времени t; a_m(t) –– частота отказов резервного устройства после его включения в активный режим работы.

Опуская промежуточные выкладки, приведем окончательные выражения для вероятности безотказной работы технической системы при различной кратности резервирования в режиме «облегченного» резерва.

При m=1 (одно резервное устройство, т.е. всего в системе 2 устройства):

(7.21)
При m=2 (два резервных устройства и одно основное):

(7.22)
Анализ представленных зависимостей и их аналогов для m=3 дает основание для установления закономерности, позволяющей записать выражение для вероятности безотказной работы P_C(t) технической системы при произвольной кратности резервирования (общее число устройств равно m+1):

(7.23)

(7.24)
Из выражения (7.23) видно, что вероятность безотказной работы m-кратно резервированной технической системы может быть вычислена так же с помощью рекуррентного соотношения:

(7.25)

(7.26)

Интегрирование (7.25) позволяет найти выражение для расчета среднего времени Т_С безотказной работы технической системы:

(7.27)
В окончательном виде после интегрирования (7.27):

(7.28)
Или

Рис. 7.7. Изменение вероятности безотказной работы системы

(7.30)
Изменение надежности системы при различном числе m резервных устройств и при значениях интенсивностей отказов l_А =10^-3 1/час, l_Р =10^-4 1/час приведено на рис.7.7.

Рис.7.8. Изменение частоты отказов а_с×10^-4 технической системы, рассчитанной по формуле (7.29) при l_А=0.001 1/час, l_Р=0.0001 1/час

На рис.7.9 приведены графики изменения интенсивности отказов технической системы в тех же условиях. Расчеты функций надежности, частоты и интенсивности отказов выполнены по программе «RGR-4».

Рис.7.9. Изменение интенсивности отказов l_С×10^-4 (1/час) технической системы, рассчитанной по формуле (7.30) при исходных данных, совпадающих с данными рис. 7.8

Анализ кривых, представленных на рис. 7.8, рис. 7.9 показывает, что локальное снижение интенсивности и частоты отказов объясняется достаточным количеством резервных устройств, находящихся в исправном состоянии. Снижение частоты отказов на конечном этапе эксплуатации системы объясняется уменьшением общего числа работоспособных устройств.