Пример. Рассмотрим функцию W = = x-i·y

Рассмотрим функцию W = = x-i·y. Покажем, что эта функция не имеет производной ни в одной точке. Возьмем любую точку Z₀ = x₀+i·y₀, придадим ей приращение ΔZ = Δx+i·Δy, тогда функция получит приращение . Значит

, ,

Будем вначале рассматривать ΔZ = Δx + i·Δy такие, что Δx → 0, а Δy = 0, т. е. точка Z₀ + ΔZ → Z₀ по горизонтальной прямой. При этом мы получим, что

Будем теперь рассматривать приращение ∆Z такими, что ∆x = 0, а ∆y → 0, т.е. когда Z₀ + ∆Z→ Z₀ по вертикальной прямой, при этом очевидно будет .

Полученные пределы различные, поэтому отношение не имеет предела при ∆Z → 0, то есть функция не имеет производной в любой точке Z₀ .

Выясним смысл производной по множеству. Пусть E – действительная ось, и W = f(Z) = x, тогда это есть обычная вещественная функция вещественной переменной f(x) = x и ее производная будет равна 1 ( ).

Пусть теперь Е – это вся плоскость (Z). Покажем, что функция f(Z) = x в этом случае не имеет производной ни в одной точке. Действительно, в данном случае . Отсюда видно, что если а , то . Если же , а , то . Следовательно, отношение не имеет предела при , поэтому функция f(Z) = x не имеет производной ни в одной точке .

Отметим, что если рассматривается комплексно-значная функция вещественной переменной , то из определения производной непосредственно вытекает, что , следовательно, (это производная по вещественной оси).