ПРИЛОЖЕНИЕ Д. Преобразование Лапласа

Преобразованием Лапласа называется такая математическая операция, в результате которой функции-оригиналу N(t) ставится в соответствие функция F(p), называемая изображением функции N(t) и определяемая следующим образом:

. (Д.1)

Из определения следует, что преобразование Лапласа обладает свойством линейности, т.е.

.

Используя определение (Д.1) и применяя интегрирование по частям, можно показать, что изображение первой производной функции, дифференцируемой в точке t = 0, выглядит как

.

Обратная операция отыскания оригинала по его изображению

называется обратным преобразованием Лапласа. Обратное преобразование Лапласа также линейно.

Для отыскания оригиналов существуют таблицы, найти которые можно в математических справочниках. Приведем здесь краткую выдержку из подобной таблицы.

Указанные свойства преобразования Лапласа и обратного ему преобразования позволяют использовать их для решения систем линейных дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями. Рассмотрим решение двух первых уравнений системы, описывающей скорость радиоактивных превращений в простейшей цепочке из двух радионуклидов:

,

, (6.2)

и . Применим преобразование Лапласа к левой и правой частям этих уравнений. В результате, используя свойство линейности, получим следующую систему алгебраических уравнений

,

. (Д.2)

Выразим F₁(р) из первого уравнения системы (Д.2):

.

Подставив этот результат во второе уравнение системы (Д.2), получим

. (Д.3)

Пользуясь свойством линейности обратного преобразования, по таблице находим оригиналы N₁(t) и N₂(t):

,

. (6.3)

Если к первым двум уравнениям системы (6.2) добавить третье, соответствующее следующему превращению в радиоактивной цепочке,

,

, то отыскание его решения полностью аналогично:

.

Подставляя в это уравнение F₂(р) из (Д.3), находим, что

.

Отыскание оригинала по таблице приводит к следующему результату:

Решение более сложных систем (в том числе для разветвленных цепочек) методом преобразования Лапласа также не представляет трудности. Однако, как показывает последний пример, аналитические решения N_i(t) при больших i выглядят весьма громоздко. В этом случае для получения результата предпочтительнее использовать алгоритм Бейтмана, изложенный в п. 6.2.