ПРИЛОЖЕНИЕ В. Квантовый гармонический осциллятор

Линейным, или одномерным гармоническим осциллятором называется частица, движущаяся в потенциале

(величину k называют силовой постоянной). Согласно классической механике, такая частица совершает в направлении х гармонические колебания с циклической частотой . Уравнение Шредингера для одномерного осциллятора

.

Если ввести безразмерные величины энергии и координаты

,

то оно преобразуется в

. (В.1)

При ν = 1 решением этого уравнения является функция

,

в чем легко убедиться путем проверки. Это решение соответствует основному состоянию осциллятора, так как оно не имеет узлов. Энергия в основном состоянии равна .

Решение, соответствующее n-му возбужденному состоянию должно иметь n (1, 2, 3 и т.д.) узлов. Такое число узлов имеет функция

, (В.2)

где – полином n-й степени с некратными вещественными корнями.

Используя то, что

после подстановки (В.2) в уравнение (В.1) получим

. (В.3)

Второе и третье слагаемые здесь являются полиномами степени n. Тогда, чтобы определить ν, достаточно сравнить коэффициенты при старших членах этих полиномов. Если коэффициент при ξ ⁿ в третьем слагаемом равен a(ν–1), то во втором слагаемом он будет равен –2an. Так как соотношение (В.3) должно выполняться тождественно, при всех значениях ξ, то

,

что дает возможные значения энергии

.

Таким образом, уровни энергии квантового линейного гармонического осциллятора эквидистантны, т.е. находятся на равных расстояниях друг от друга (рис. В).