Гармонический осциллятор.
Пружинный, физический и математический маятники.
Материальную точку, совершающую колебания, называют осциллятором (от английского слова oscillation — колебание).
Таким образом, рассмотренные выше колебания представляют собой частные случаи свободных колебаний гармонического осциллятора:
, (15.3.1)
решение, которого будем записывать в виде:
x(t)= Acos(ω0t+a),
где A– амплитуда колебаний; ω0 – собственная частота; величина ω0t+a–фаза колебания.
Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, физический и математический маятники.
1. Пружинный маятник.
Пружинным маятником называется система, состоящая из груза массы m, подвешенного на пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы (рис.15.1).
Обозначим смещение пружины из положения равновесия x. Тогда сила, возникающая в пружине при выведении шарика из положения равновесия, будет равна
F = -kx.
Эта сила пропорциональна величине смещения и направлена к положению равновесия. В таком случае уравнение движения шарика, согласно второму закону Ньютона, запишется в виде
или
.
Обозначив , перепишем уравнение движения пружинного маятника:
. (15.3.2)
Из уравнения (15.3.2) следует, что движение пружинного маятника описывается линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка.
Решение уравнения (15.3.2) имеет вид
x(t) = A cos (wt+j),
где - частота гармонических колебаний.
Тогда - период колебаний пружинного маятника.
2. Физический маятник
Твердое тело, способное совершать колебания вокруг неподвижной точки, не совпадающей с его центром инерции называется физическим маятником (рис.15.2).
Покажем, что и физический маятник будет совершать гармонические колебания.
В положении равновесия центр инерции маятника (С) находится под точкой подвеса (О) на одной с ней вертикали.
При отклонении маятника от положения равновесия на угол j возникает вращательный момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Этот момент равен произведению силы тяжести на плечо силы (d):
M = mgd
или
,
где - расстояние между центром инерции и точкой подвеса.
Согласно основному уравнению динамики вращательного движения, вращательный момент равен
M = Ie (15.3.3.)
или
. (15.3.4)
В случае малых колебаний sinj~j и, приравнивая (15.3.3) и (15.3.4), получим уравнение колебаний физического маятника:
или
. (15.3.5)
Введем обозначение
и перепишем уравнение (15.3.5) в виде
. (15.3.6)
Уравнение колебаний физического маятника (15.3.6) представляет собой однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка.
Из теории дифференциальных уравнений известно, что решением уравнения (15.3.6) будет функция вида
j(t) = j0 cos (wt+a),
т.е. при малых отклонениях от положения равновесия физический маятник совершает гармонические колебания, частота и период которых определяются из следующих соотношений:
;
.
где - приведенная длина физического маятника (на рис. 15.2 приведенная длина соответствует отрезку ОО/). Точка О/ на продолжении прямой ОС, отстоящей от точки О подвеса маятника на расстоянии приведенной длины, называется центром качаний физического маятника.
Таким образом, приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника.
3. Математический маятник
Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешено тело точечной массы m и совершающей колебания под действием силы тяжести.
Приближенно можно считать математическим маятником небольшой, нетяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити (рис.15.3).
Отклоним маятник от положения равновесия на угол a и предоставим ему возможность совершать колебания.
На маятник в отклоненном состоянии действует возвращающая сила
Fв = -mg sina.
Она направлена по касательной к траектории движения шарика в сторону положения равновесия. Согласно второму закону Ньютона, уравнение движения математического маятника запишется в виде
.
В общем случае решение уравнения сложно.
Рассмотрим случай, когда отклонение маятника от положения равновесия настолько малы, что синус угла можно считать пропорциональным величине угла:
sina ~ a.
Тогда смещение по дуге приближенно можно считать равным смещению вдоль горизонтальной хорды и синус угла a заменить отношением смещения x к длине нити
Тогда
(15.3.7)
Введем обозначение
и подставляя его в уравнение (15.3.7), получим уравнение движения математического маятника:
(15.3.8)
Из вида уравнения (15.3.8) следует, что движение математического маятника описывается линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка.
Из теории дифференциальных уравнений известно, что решением уравнения (15.3.8) является функция вида
x(t) = A sin (wt+y)
или
x(t) = A cos (wt+a),
т.е. математический маятник совершает гармонические колебания с частотой
и периодом
.
Таким образом, период колебаний математического маятника зависит только от ускорения силы тяжести в данном месте Земли и от длины маятника.
Математический маятник представляет собой частный случай физического маятника, где вся масса твердого тела сосредоточена в одной точке, находящейся на постоянном расстоянии от точки вращения.
Дата добавления: 2015-04-19; просмотров: 2237;