ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Частица в прямоугольной потенциальной яме

Для простоты будем рассматривать прямоугольную потенциальную яму бесконечно большой глубины и конечной ширины a (рис. Б). Потенциальная энергия частицы (с массой μ) при x < 0 и x > a должна быть бесконечно велика, поэтому ее волновая функция за пределами ямы обращается в нуль. Внутри ямы, где U(x) = 0, уравнение Шредингера

.

Введем следующее обозначение:

.

Тогда уравнение Шредингера будет выглядеть как

.

Его решением является функция

.

Это решение должно обращаться в нуль на границах потенциальной ямы. В результате В = 0 и

.

Отсюда получим , т.е.

где n = 1, 2, 3 и т.д. Решение n = 0 следует отбросить как лишенное физического смысла. В этом случае волновая функция равна нулю тождественно, т.е. при всех значениях x. Но поскольку квадрат модуля волновой функции – это плотность вероятности обнаружить частицу в точке x, вероятность найти частицу где-либо в пространстве при n = 0 равна нулю (такой частицы просто нет).

Число n называется квантовым числом и равно целому числу длин полуволн де Бройля частицы

со средеквадратичным значением импульса на отрезке длиной a (рис. Б). Энергия, соответствующая волновой функции с квантовым числом n, равна

.

Остановимся подробнее на свойствах ψ-функций. Четность состояний, определяемая в данном случае как свойство ψ-функции менять или сохранять знак при замене координаты x на a – x, чередуется: функция ψ₁ нижнего по энергии (основного) состояния является четной, функция ψ₂ следующего (первого возбужденного) состояния – нечетной, и т.д. Волновые функции частицы четны или нечетны лишь в одномерной потенциальной яме, симметричной относительно середины. Функция ψ₁ не имеет узлов (т.е. не обращается в нуль) на всем интервале 0 < x < a. Функция ψ₂ имеет один узел, ψ₃ – два узла, и.т.д.

Число связанных состояний в потенциальной яме конечной глубины определяется ее глубиной (для бесконечной ямы оно бесконечно). В области, где E_n < U(x), волновые функции, хотя и быстро стремятся к нулю, но не обращаются в нуль тождественно (см. ПРИЛОЖЕНИЕ В): это происходит только при U → +∞.

Все это – общие, не зависящие от конкретного вида потенциала, свойства одномерного финитного движения – движения, совершающегося (по классическим представлениям) в ограниченной области пространства.