ПРИЛОЖЕНИЕ З. Формулы Брейта-Вигнера

Время жизни квантовомеханической системы в квазистационарном состоянии не может быть бесконечно долгим. Поэтому волновая функция ψ такого состояния с энергией E_n зависит от времени:

(З.1)

(где частота ω_n = E_n/ћ), причем временной множитель функции при t > 0 содержит не только мнимую, но и действительную экспоненту. Так как квадрат модуля волновой функции есть вероятность найти частицу «внутри системы», то

,

что соответствует экспоненциальному затуханию вероятности со временем (в соответствии с основным законом радиоактивного распада).

Рассмотрим для конкретности переход системы из возбужденного состояния в основное, сопровождающийся электромагнитным излучением. Каков будет спектр испускаемого излучения I(E)? Чтобы ответить на этот вопрос, разложим функцию (З.1) в интеграл Фурье[209] по частотам непрерывного спектра ω = E/ћ:

, (З.2)

где

. (З.3)

Так как функция ψ = 0 при t < 0, после подстановки (З.1) в (З.3) в результате интегрирования получаем:

. (З.4)

Как известно электродинамики, при излучении электромагнитных волн системой зарядов, совершающей гармонические колебания с частотой ω, энергия излучения пропорциональна квадрату амплитуды этих колебаний. С квантовой точки зрения это означает, что вероятность испускания фотона с энергией Е = ћω пропорциональна квадрату модуля амплитуды соответствующего коэффициента разложения волновой функции (З.1) по спектру частот:

. (З.5)

Из (З.5) следует, что интенсивность излучения достигает максимума при ω = ω_n. Обозначив эту максимальную интенсивность как

и, переходя от частот к энергиям и к ширине уровня Г = ћλ, находим, что

. (З.6)

Таким образом, энергетический спектр излучения при экспоненциальном законе распада возбужденного состояния имеет форму кривой Лоренца с центром в точке Е = Е_n и шириной на половине высоты равной Г.

Процесс, обратный испусканию, – резонансное поглощение – описывается той же зависимостью. Это значит, что сечение поглощения имеет вид

, (З.7)

где σ₀ – максимальное сечение, определяемое физикой процесса. Формулы вида (З.7) в ядерной физике называют формулами Брейта-Вигнера. Для взаимодействия бесспиновых частиц,[210] относительный орбитальный момент которых равен нулю,

, (З.8)

где – длина волны налетающей частицы a, Т – ее кинетическая энергия, Г_a – ширина уровня при испускании налетающей частицы (упругое рассеяние); Г_b – при испускании другой частицы b (реакция, или неупругий процесс); Г = Г_a + Г_b – полная ширина. В случае резонанса сечение упругого рассеяния

,

Это означает, что ,если энергетически возможно только упругое рассеяние (Г_b = 0), то максимальное сечение (в резонансе) равно

. (З.9)

Найдем, при каких условиях максимально сечение реакции. Для этого продифференцируем выражение (З.8) по Г_b при условиях Т = E_n и Г = Г_a + Г_b.

,

откуда следует, что сечение реакции максимально при Г_a = Г_b и равно

. (З.10)

Таким образом, резонансные сечения упругого и неупругого процессов ограничены значениями (З.9) и (З.10). Кроме того, существует и ограничение и для полного сечения σ = σ_{(a, a)} + σ_{(a, b)}:

. (З.11)

Из соотношений (З.9-З.11) следует, что упругое рассеяние возможно в отсутствие неупругих процессов (реакций), но не наоборот: неупругий процесс при любых условиях сопровождается упругим рассеянием.