ПРИЛОЖЕНИЕ Л. Рассеяние фотона на свободном электроне

Рассмотрим столкновение фотона со свободным электроном в рамках релятивистской механики. Обозначим через E_γ и p_γ энергию и импульс фотона до рассеяния, а через E_γ’ и p_γ’ – после рассеяния. Для электрона полная энергия и импульс до рассеяния будут соответственно E₀ = m_ec² и 0 (электрон до рассеяния покоился), а после рассеяния E_e и p_e. Тогда законы сохранения энергии и импульса дают

.

Отсюда

. (Л.1)

Для каждой частицы величина

есть инвариант, причем для фотона этот инвариант равен нулю. С учетом этого

.

Подставляя это в (Л.1), получаем

,

или

. (Л.2)

Обозначив угол рассеяния фотона (угол между векторами p_γ и p_γ’) через θ, перепишем (Л.2) в виде

. (Л.3)

Выразим теперь импульсы падающего и рассеянного фотона через соответствующие длины волн: и . Тогда

. (Л.4)

Из (Л.4) следует независимость комптоновского смещения от рассеивающего вещества и первоначальной длины волны. Постоянная

(Л.5)

– одна из важнейших атомных постоянных. Она называется комптоновской длины волны электрона и представляет собой изменение длины волны фотона при его рассеянии на угол θ = π/2. Ее связь с другими постоянными: , где α = e²/ħc – постоянная тонкой структуры, r_e = e²/m_ec² – классический радиус электрона. Существуют также комптоновские длины волн протона, нейтрона и других элементарных частиц. Все они определяются формулой (Л.5), если вместо массы электрона в нее подставить массу соответствующей частицы.

При рассеянии фотона на электроне последний получает энергию отдачи

. (Л.6)

Переписав (Л.3) в виде

и выразив из (Л.6) E_γ’, найдем, что

. (Л.7)

Как следует из (Л.7), кинетическая энергия комптоновского электрона минимальна (равна нулю) при рассеянии фотона вперед (θ = 0) и максимальна при обратном рассеянии (θ = π). В последнем случае

, (Л.8)

где x = 2E_γ/E₀. Таким образом, при увеличении энергии фотона максимальная энергия комптоновских электронов стремится к величине E_γ.