Вычисление площади гладкой поверхности, заданной параметрически и в явном виде.

Рассмотрим кусок поверхности S, заданной уравнением F=(x,y,z)=0. Пусть выполняется условие , что означает, что в каждой точке поверхности существует нормаль с направляющим вектором . Разобьем поверхность S сеткой гладких кривых на элементарные области (разбиение Z). Пусть – наибольший из диаметров элементарных областей. Если независимо от разбиения Z существует , то он и называется площадью данной поверхности. Пусть S однозначно проектируется на плоскость xy и G – это проекция. Элементу площади dxdy области G на плоскости xy соответствует элемент площади поверхности S, равный , где – угол между нормалью к поверхности S и осью Z. Поэтому вычисление площади поверхности сводится к вычислению двойного интеграла по проекции поверхности на плоскость. Если поверхность задана уравнением , , а нормаль представляет собой градиент функции, то есть: , то и площадь поверхности вычисляется по формуле:

, здесь G – проекция поверхности S на плоскость xy.

Если поверхность однозначно проектируется на другие координатные плоскости, то соответственно изменится формула вычисления площади поверхности.

Если кривая задана параметрическими уравнениями и , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми и и отрезком [a,b] оси Ox, выражается формулой где определяются из уравнений

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением и двумя полярными радиусами находится по формуле

.