Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические и сферические координаты.

Замена переменных в тройном интеграле в общем случае.

Пусть имеется тело (V) с границей (S).

Пусть , тогда .

Замена:

Преобразование (*) будем считать взаимно-однозначным, то есть всё можно выразить друг через друга, а именно:

Пусть поверхность (Λ) задаётся параметрически, то есть:

Получаем параметрическое задание поверхности (S) (см. рис. ниже).

Два последних двойных интеграла равны, так как:

Применим к последнему выражению формулу Гаусса-Остроградского, то есть эту формулу: .

Пусть , , , тогда:

Выражение в скобках равно нулю. Оставшееся выражение запишем так:

Это якобиан преобразования. Окончательно получаем:

А для общего случая:

Цилиндрические координаты:

Переходим от координаты M(x,y,z) к M(ρ,φ,z). Это цилиндрические координаты, где:

Получаем, что .

Сферические координаты:

Получаем элемент объёма сферических координат: .