Определение дифференцируемой функции нескольких переменных и ее дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков.

Производные ФНП.

Рассмотрим функцию u = F(x), определенную в некоторой области D. Пусть − фиксированная точка. Дадим координате х1 приращение . Если существует конечный предел , то он называется частной производной функции F(x) по переменной х1 и обозначается

Аналогично определяются частные производные по всем остальным переменным.

Замечания.

1. Частная производная по какой либо переменной есть обычная производная, при условии, что все остальные переменные – константы.

2. Последнее обозначение, в отличие от функций одной переменной, не равно частному от деления двух дифференциалов, а является неразрывным символом.

В частном случае двух переменных частная производная равна тангенсу наклона касательной к сечению поверхности плоскостью, перпендикулярной ко второй переменной.

Примеры.

Частные производные высших порядков.

Вычисляя частные производные ФНП, мы снова получаем функцию тех же переменных, от которой можно взять частную производную, в том числе и по другой переменной (если она, конечно, существует): Частные производные по одной и той же переменной называются повторными, а по различным переменным – смешанными. Например:

Примеры.

Теорема 1 (О равенстве смешанных производных). Пусть функция z = f(x,y) имеет вторые частные производные в окрестности т. М0 , непрерывные в самой точке М0.

В этом случае

{Рассмотрим функции

Для аналогично получаем:

Из равенства следует

. Устремив h к нулю , в силу непрерывности производных, получаем: }

Если u = u(x1,…,xn), то все вторые частные производные можно записать с помощью

.

Из т.1 следует, что матрица Гессе – симметрична.

Дифференциал ФНП.

Пусть функция u = F(x) определена в области D и − фиксированная точка. Дадим приращение каждому аргументу хţ : Величину будем называть вектором приращения. В свою очередь функция u получит приращение равное

Определение 1. Функция u = F(x) называется дифференцируемой в т. х , если ее приращение может быть представлено в следующем виде:

где

Aţ = Aţ(x) и не зависит от Δх, а − бесконечно малая при

Величина вектора Δх равна:

Используя это обозначение, можно написать

Легко показать, что

{ }

Определение 2. Главная и линейная часть приращения дифференцируемой функции называется дифференциалом:

Теорема 1. Функция, дифференцируемая в т. хo − непрерывна в этой точке. { }

Теорема 2. (Необходимое условие дифференцируемости) Если F(x) дифференцируема в т. х , то она имеет все частные производные в этой точке, причем

{Пусть }

Отсюда, Если х − независимая переменная, то и окончательно

Теорема 3. (Достаточное условие дифференцируемости) Пусть F(x) имеет все частные производные в окрестности т. хо , непрерывные в самой этой точке. Тогда функция дифференцируема в т. хо .

{без доказательства}

Замечание. Для дифференцируемости функции одной переменной достаточно существования производной.

Дифференциал функции u называют полным дифференциалом.

Определение 3. Выражение называется дифференциальной формой.

Теорема 4. Дифференциальная форма является полным дифференциалом некоторой функции u(х,у) тогда и только тогда, когда выполнено условие

{1.Необх.: Тогда

2. Дост. – без доказательства}

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения:

Геометрический смысл дифференцируемости. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Рассмотрим поверхность S: z = f(x,y), дифференцируемую в т. S.

Определение 1. Плоскость, проходящая через т. М0 , называется касательной плоскостью к поверхности S в т.М0 , если угол между ней и секущей (М0М1) ( ) стремится к нулю при .

Определение 2. Вектор, ортогональный к касательной плоскости в т.М0 , называется нормальным вектором к поверхности в этой точке. Нормалью к поверхности называется

прямая, проходящая через т.М0 перпендикулярно касательной плоскости в этой точке.

Обозначим , . Вектор приращения:

Из условия дифференцируемости функции z следует, что

Рассмотрим плоскость и угол φ между секущей и этой плоскостью: при Отсюда сразу следует, что плоскость П – касательная к поверхности в т.М0. В результате имеем:

Функция z = f(x,y), дифференцируемая в некоторой точке (х0,у0) имеет в соответствующей т.М0 касательную плоскость: и нормальный вектор

Пример.

Дифференциалы высших порядков.

Определение 1. Дифференциал от первого дифференциала функции называется вторым дифференциалом: Аналогично определяются дифференциалы более старших порядков.

Вычислим второй дифференциал функции двух переменных . При этом будем считать, что дифференциалы независимых переменных dx и dy – величины постоянные (т.е. не зависят от т.(х,у) и не меняются при вычислении каждого последующего дифференциала).

.

Не трудно видеть, что второй дифференциал представляет собой квадратичную форму от

переменных dx и dy. Матрица этой квадратичной формы есть матрица Гессе, т.е.

d2z = (dx,dy)Г(dx,dy)T (см. раздел «Линейная алгебра», квадратичные формы). Кроме того,

второй дифференциал можно записать в символическом виде:

Можно показать, что в общем случае дифференциал 2 – го порядка функции u = F(x) равен

Дифференциал m – го порядка равен