Двойной интеграл и его свойства. Сведение двойного интеграла к повторному.

Определение двойного интеграла. Пусть на плоскости XY задана функция и область (P) (область задания функции f(x,y)), её площадь P. Произведём разбиение площади сеткой кривых Pi, где Pi – частичная область. Внутри частичной области возьмём произвольную точку с координатами (ξi,ηi). Составим интегральную сумму: . Пусть λ – характеристика разбиения, которая равна , где di – диаметр частичной области. Диаметр – максимальное расстояние между любой парой точек в области. Устремим λ к нулю. Если существует предел интегральных сумм , то этот предел и называется двойным интегралом: .

Основные свойства двойного интеграла:

Свойство аддитивности:

Свойства линейности:

а)

б)

Модуль интеграла меньше или равен интегралу от модуля:

Теорема о среднем. Так как

то, проинтегрировав это неравенство, получим:

Где

Сведение двойного интеграла к повторному.

Теорема. Если функция f(x, y) интегрируема в прямоугольнике, указанном на рисунке, и если  и существует интеграл , тогда существует повторный интеграл и он равен двойному: = .

Замечание. Если f(x, y) интегрируема в прямоугольнике, указанном на рисунке, и  и существует интеграл тогда существует повторный интеграл .

Предположим, что область D произвольного вида. Делаем разбиение и проводим параллельные линии. Заключим область (D) в прямоугольник (D*), , и в нём определим функцию f*(x,y): .

Формула в общем виде: . Так же доказывается, что

Тройной интеграл, сведение его к повторному.

Определение тройного интеграла. Пусть в некоторой области (V) с границей (S) задана в каждой точке функция f(x,y,z). Разобьём тело (V) сеткой поверхностей на частичные области (Vi). В каждой (Vi) возьмём произвольную точку (ξi, ηi, ζi) и составим интегральную сумму: . Устремим максимальный диаметр (макс. расстояние между любой парой точек в области) к нулю: . Тогда, если существует предел интегральных сумм, то он равен тройному интегралу: .

На всякий случай определение интегральной суммы. Пусть на нек-ом отрезке задана . Произведём разбиение отрезка: . Число , называется интегральной суммой функции f(x), соответствующей данному разбиению T(ξi;xi) сегмента [a;b] и данному выбору промежуточных точек ξi на частичных сегментах [xi-1;xi], Δ –хар-тика разбиения:

Сведение к повторному интегралу. Рассмотрим первый простейший случай. Пусть тело V – прямоугольный параллелепипед. Проведём секущую плоскость. Возьмём приращение плоскости (жирные линии). Тогда: .

Рассмотрим второй случай.

Рассмотрим третий случай – область (V) цилиндрического типа.

26. Замена переменных в двойном интеграле. Пример: случай полярных координат.

Вычислим интеграл , используя замену переменных . Рассмотрим интеграл как предел интегральных сумм. Область (D) сеткой кривых разделяется на частичные области Di, внутри каждой частичной области берём произвольные точки (xi, yi). Составляем интегральную сумму: , где Di – площадь i-ой частичной области. Устремим максимальный диаметр к нулю: . По определению, . Совершим замену переменных (*). При замене (*) площадь .