Метод Эйлера
Этот метод является простейшим численным методом решения задачи Коши. Рассмотрим его на примере решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка (6.47) с соответствующим начальным условием (6.48).
Расчетную формулу метода Эйлера можно получить, используя разложение функции и(х) в ряд Тейлора в окрестности некоторой точки хi:
(6.49)
Если приращение h мало (то есть h<<xi), то члены ряда, начиная со слагаемого, включающего h во второй степени, могут быть отброшены как малые величины. Тогда из (6.49) в первом приближении получим:
(6.50)
Воспользуемся формулой (6.50), применив ее к единственной известной из условия задачи точке x0. Найдем в х0 производную du(x0)/dx, подставив (6.48) в (6.47):
Подставив последнее выражение в (6.50) и полагая xi = x0, получим
u (x0 + h) = u (x0) + hf (x0, u (x0, u (x0))
или, сокращая обозначения, в окончательном виде
u1 = u0 + hf (x0, u0)
Таким образом, (6.50) при известном значении функции u0 = u(x0) в начальной точке x0 позволяет найти приближенное значение u1 = u(x1) при малом смещении h от x0. На рис. 6.2 графически показан начальный шаг решения методом Эйлера.
Рис. 6.2 ‑ Метод Эйлера
Решение можно продолжить, используя найденное значение функции u1 для вычисления следующего значения - u2. Распространяя эти рассуждения на последующие точки, запишем расчетную формулу метода Эйлера в виде
ui+1 = ut + hf (xi, ui), i = 0,1,2,.... (6.51)
Из рис. 6.1 видно, что ошибка метода Эйлера на шаге связана с используемой линейной аппроксимацией u(x). Хотя тангенс угла наклона касательной к кривой точного решения в точке (x0,u0) известен и равен du(x0)/dx, он изменяется при смещении от x0 до xi. Следовательно, при сохранении начального наклона касательной на всем интервале h расчет u1 выполняется с погрешностью.
Ошибка метода Эйлера на каждом шаге имеет порядок h2, так как члены, содержащие h во второй и более высоких степенях, отбрасываются - см. (6.49) и (6.50). Уменьшая h можно снизить локальную ошибку на шаге.
Дата добавления: 2015-04-03; просмотров: 1106;