Оценка точности квадратурных формул
Как следует из оценочных формул (6.38) и (6.43), оценка погрешности метода интегрирования по формулам трапеций и Симпсона возможна лишь тогда, когда подынтегральная функция задана аналитически. Однако даже и в этом случае на практике применяется следующий прием, пригодный для каждого из рассмотренных методов интегрирования.
Искомый интеграл вычисляется дважды: при делении отрезка на п частей и на 2п частей (при интегрировании по формуле Симпсона п должно быть четным). Вслед за этим полученные значения интеграла In и I2n сравниваются, и совпадающие первые десятичные знаки считаются верными.
Пусть Rn и R2n – погрешности интегрирования по формуле Симпсона, соответственно при п и 2п отрезках разбиения. Учитывая оценку (6.43), можно составить равенство:
(6.44)
где hn и h2n – длина отрезков разбиения (шаг интегрирования) в первом и втором случае. Т.к. Тогда из (6.44) получаем:
(6.45)
Если I – истинное значение интеграла, то I=In+Rn и I=I2n+R2n , откуда
In+16R2n= I2n+R2n, т.е.
(6.46)
Формула (6.46) удобна для практической оценки погрешности метода Симпсона, но требует двойного счета.
Из оценочных формул (6.39) и (6.42) следует, что ошибка интегрирования по методу трапеций и методу Симпсона уменьшается с уменьшением шага интегрирования. При последовательном увеличении числа отрезков разбиения будем получать значение интеграла, все более и более близкое к истинному. Этот вывод имеет теоретическое значение. В процессе практических вычислений при последовательном удвоении числа отрезков разбиения начинает сильно прогрессировать удельный вес ошибки округления, значение которой с некоторого момента ставит предел достижимой точности результата интегрирования.
Дата добавления: 2015-04-03; просмотров: 971;