На примере оператора Лапласа.

-

Требования функции f(t):

1) функция f(t) = 0 при t < 0.

2) непрерывна и кусочно дифференцируема при t ≥ 0.

3) ограничена по величине: f(t) ≤ |Me ^et|

4 основных свойства операторных преобразований:

1) Если увеличить оригинал в а раз, то и изображение увеличится в а раз:

а · f(t) ÷> а ·F(S)

2) Сумма оригиналов равна сумме изображений: f₁(t) + f₂(t) ÷>F₁(S) + F₂(S)

3) Дифференцирование оригинала равнозначно умножению изображения на соответствующий оператор:

÷>

4) Интегрирование оригинала равнозначно делению изображения на соответствующий оператор:

÷>

Два последних свойства показывают, что действия дифференцирования и интегрирования оригиналов превращаются в действия умножения и деления их изображений. Таким образом, дифференциальные уравнения функций действительных переменных превращаются в алгебраические уравнения для их изображений.

Общая последовательность использования операторного метода включает:

1) составление дифференциального уравнения движения системы в функциях действительной переменной времени;

2) выполнение операторного перехода, связанного с нахождением соответствующих изображений и получение алгебраического уравнения, описывающего поведение системы в функциях изображений;

3) решение получившегося алгебраического уравнения и нахождение изображения искомой функции;

4) обратный операторный переход с помощью таблиц преобразований и нахождение по изображению функции ее оригинала. Найденная функция – оригинал будет решением уравнения движения системы.