II. Обработка по методу Стьюдента

Результаты данной серии измерений, не являющиеся грубыми ошибками, внести в таблицу 2 для обработки по методу Стьюдента.

Таблица 2.

N/N	h_i	Δh_i	Δh_i²









<A>= A_i = Σ Δh_i²=

1. Рассчитать среднее арифметическое для данной серии измерений: <A>= A_i =

2. Найти отклонение каждого из результатов данной серии измерений от среднего:

Δh_i= h_i - <h> и записать со своим знаком в третий столбец таблицы 2.

3. Найти квадрат отклонений от среднего для каждого из результатов измерений в данной серии и заполнить четвёртый столбец таблицы 2.

4 Найти сумму квадратов отклонений от среднего Σ Δh_i²=

5. Рассчитатьоценку среднеквадратичного отклонения результата серии измерений S, которая при ограниченном числе измерений определяется как:

где N – число измерений.

6. По таблице ! найти коэффициент Стьюдента:

Для N= 9 и Р= 0,95 t= 2,31

7. Вычислить абсолютную погрешность по формуле: α = t S=

8. Сравнить значение вычисленной абсолютной погрешности α с погрешностью прибора и записать окончательное значение абсолютной погрешности измерений:

2.2.1. Стандартная запись окончательного результата

В процессе обработки результатов наблюдений необходимо:

1) в стандартной форме записи окончательного результата погрешность измерения принято выражать числом с одной или двумя значащими цифрами. Значащими цифрами числа называю все его цифры, начиная с первой слева, отличной от нуля цифры. Две цифры указываются при наиболее точных измерениях, а также, если цифра старшего разряда числа, выражающего погрешность, равна или меньше трёх:

h= (6,78 ±0,05) м; или l=(3,21 ± 0,17) м;

2) Числовое значение результата измерения представляется в таком виде, чтобы и среднее значение и абсолютная погрешность имели одинаковое число десятичных знаков после запятой. При этом для больших и малых чисел используют стандартную запись в виде произведения: а 10ⁿ, где 1 ≤ а ≤ 10;

3) При окончательной оценке вычисленного значения абсолютной погрешности необходимо сопоставить его с абсолютной погрешностью измерительного прибора (λ). Если вычисленное значение абсолютной погрешности в 10 раз меньше погрешности прибора, то за величину абсолютной погрешности принимают погрешность прибора. Если же вычисленное значение абсолютной погрешности равно погрешности прибора, то величину абсолютной погрешности принимают равной сумме вычисленной погрешности и погрешности прибора: Δh _{окончат.}= Δh_вычисл_. +λ.

4) Если в результате измерений получается ряд совершенно одинаковых значений измеряемой величины, то в качестве абсолютной погрешности измерений берётся погрешность прибора λ Для приборов, имеющих нониус (верньер), погрешность измерений берётся равной погрешности нониуса.

2.2.2..Правила округления

При записи результатов измерений, а также при их обработке, округление результата проводится согласно следующим правилам:

1. Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов меньше 5, то последняя сохраняемая цифра не изменяется. Лишние цифры в целых числах заменяют нулями, а в десятичных дробях отбрасывают. Например, число 847563 при сохранении четырёх значащих цифр должно быть округлено до 847500, а число 354,345 - до 354, 3.

2. Если старшая отбрасываемая цифра больше или равна 5, но за ней следуют отличные от нуля цифры, то последнюю сохраняемую цифру увеличивают на единицу. Например, при сохранении трёх значащих цифр число 123, 51 округляют до 124, а 34598 – до 34600.

3. Если отбрасываемая цифра равна 5, а следующие за ней цифры неизвестны, то последнюю сохраняемую цифру не изменяют, если она чётная, и, увеличивают на 1, если она нечётная, например: число 22.5 при сохранении двух значащих цифр округляют до 22, а число 31,5 - до 32.

4. Из правил округления имеется исключение: при округлении погрешности последняя сохраняемая цифра увеличивается на 1, если старшая сохраняемая цифра 3 или больше.

Например, пусть < h > = 3,455 м, а Δ h = 0,043 м,

тогда правильная запись окончательного результата выглядит так:

h = (3,46±0,05) м.

§ 3. Обработка результатов косвенных измерений физических величин

Основная задача косвенных измерений – нахождение искомой величины, которая является функцией одного или нескольких аргументов: U=f(A,B,C…). Обычно вид функции известен, а величины А, В, С… измеряются непосредственно в эксперименте. По результатам этих измерений необходимо получить оценку величины U и определить точность этой оценки.

Среднее арифметическое значение и погрешность косвенных измерений можно вычислить двумя методами:

Можно при каждом наблюдении величин А, В, С…вычислять значение U, а среднее арифметическое значение и доверительный интервал вычислять по тому же методу, что и для прямых измерений.

2. можно найти среднее значение и абсолютную погрешность каждого аргумента по всем измерениям, а затем оценку искомой величины по формуле:

=f(<A>,,<C>…) (3.1)

Величину абсолютной погрешности вычисляют по формуле:

(3.2)

Причем все частные производные при А =<A>, B=,C=<C>… , а значения DА, DВ, DС… вычисляют в результате прямых измерений.

Частные производные нужно взять по всем переменным, а затем, если получилось несколько слагаемых, содержащих дифференциал одной и той же переменной, нужно сгруппировать эти слагаемые с учетом их знаков, появившихся при дифференцировании, и вынести общий дифференциал за скобку. После этого нужно взять сумму абсолютных величин частных дифференциалов и заменить знак дифференциала знаком абсолютной погрешности D. При этом доверительная вероятность для погрешности косвенного измерения будет такой же, как и для погрешности аргументов.

Запишем формулу (3.2) для нескольких частных случаев.

1 погрешность от произведения U=A^kB^lC^j :

(3.3)

2Погрешность от суммы U=A+B:

(3.4)

3 Погрешность от сложной суммы рассмотрим на таком примере а=cb²+z³: введем следующие обозначения: x=cb²y=z³ , тогда

Da=(Dx²+Dy²)^{0. 5} , где Dx=cb²((Dc/c)²+(2Db/b)²)^0.⁵ Dy=3z²Dz,

подставив полученные выражения в начальную формулу, найдем абсолютную погрешность Dа нашего выражения.

Рассмотрим пример. Для вычисления ускорения свободного падения методом математического маятника расчетная формула имеет вид:

Введем обозначения А=l₁-l₂, B=T₁², C=T₂², D=B-C, упростив выражение получим:

Используя формулу (3.3) находим погрешность от произведения:

где (DА)²=(Dl₁)²+(Dl₂)² (DD)²=(DB)²+(DC)² DC=2T₂DT₂ DB=2TDT =>

Если же функция удобна для логарифмирования, то сначала проще найти относительную погрешность:

(3.5)

А затем найти абсолютную погрешность: DU=e

Для облегчения вычислений рекомендуется использовать таблицу1:

Таблица 1

Формулы для вычисления погрешности функций

№ пп	функция	Абсолютная погрешность	Относительная погрешность
	X^k	k<x>^k-1Dx	kDx/<x>
	X^1/k	Dx/(k<x>^k-1/k)	Dx/k<x>
	lnx	Dx/<x>	Dx/(<x>ln<x>)
	e^kx	ke^k<x>Dx	{kDx}
	lgx	0.4343Dx/<x>	0.4343Dx/<x>lg<x>
	a^kx	k lna×a^k<x>Dx	k lna Dx
	x/(1+x)	Dx/(1+<x>)²	kDx/((<x>(1+x))
	1/x^k	kDx/<x>^k-1	kDx/<x>
	Sin kx	k cos k<x> Dx	k ctg k<x>Dx
	Cos kx	k sin k<x> Dx	k tg k<x>Dx
	Tg kx	kDx/cos²k<x>	2kDx/sin 2k<x>
	Ctg kx	kDx/sin²k<x>	2kDx/sin 2k<x>

Примечание

При использовании различных констант (ускорение свободного падения, скорость света в вакууме) погрешность определяют как разность данного приближенного значения и более точного. Например, используется значение ускорения свободного падения g=9,81 м/с². более точное значение равно 9,807 м/с², следовательно, Dg=0,003 м/с². Часто для числа p используют приближенное его значение 3,14, а более точное – 3,142. следовательно, абсолютная погрешность равна 0,002.

Если константу округляют так, что число значащих цифр в ней больше их числа в значениях других аргументов, то константа практически не вносит погрешностей в результат измерений.

При использовании таблицы необходимо погрешность аргумента тригонометрических функций брать в радианах.

Оценка погрешностей при определении искомой величины по таблице или графику.

Ряд величин необходимо брать из таблиц. При этом часто приходится пользоваться методом интерполяции. Интерполяция – нахождение приближенных значений функции y=f(x) в точках х, лежащих между точками x_i (i=1,2,3,4…), если известны значения функции f(x_i) лишь в этих точках, причем х₁<x₂<x₃…<x_n. Простейшая линейная интерполяция для х, принадлежащая отрезку [x₁; x₂], составляется по формуле:

(3.6)

t°,°C	r, кг/м³
	998,43
	998,23
	998,02
	997,79

Например, надо найти плотность воды при температуре 20,4°С. по таблице и вышеприведенной формуле находим: r=998,23+0,4×(998,02-998,23)/(21-20)=

=998,15.

Если используются табличные данные, то абсолютные погрешности этих величин принимаются равными 5 единицам разряда, следующего за последней значащей цифрой числа. В приведенном примере Dr=0,005 кг/м³.

Если измеряемая величина определяется по графику, то абсолютная погрешность, с которой определяется искомая величина, также находится из графика. Пусть величина а имеет погрешность Dа, отвечающую на графике, например, одному делению в выбранном масштабе. Тогда абсолютная погрешность функции Df(a) определяется на данном участке кривой как изменение ординаты, вызванное изменением абсциссы на величину Dа (см. рис.1)

Рис.1 нахождение абсолютной погрешности по графику

Построение графиков.

В том случае, когда требуется проследить зависимость какой-то физической величины от другой, например, зависимость коэффициента преломления среды от длины световой волны, при обработке результатов измерений обычно используют графический метод. При этом следует сначала, не производя точных измерений, проследить за ходом кривой y=f(x) в широком интервале измеряемых величин. Это позволит заранее обнаружить значения аргумента, при которых функция меняется очень заметно (области максимума, минимума, точки перегиба). Очевидно, что в этих областях измерения надо производить чаще, т.е. при меньших изменениях значения аргумента.

При построении графиков следует руководствоваться следующими правилами.

1. Графики нужно строить на миллиметровой бумаге

2. При построении графика следует заранее выбрать масштаб, нанести деления масштаба по осям координат и лишь после этого приступать к нанесению экспериментальных точек. Значения независимого аргумента откладываются по оси абсцисс, а по оси ординат – значения функции.

3. по координатным осям необходимо указать не только откладываемые величины, но и единицы измерения.

4. при выборе масштаба надо стремиться к тому, чтобы кривая занимала весь лист. Шкала для каждой переменной может начинаться не с нуля, а с наименьшего округленного значения и кончаться наибольшим.

5. чем крупнее масштаб, тем точнее график. Наименьшее расстояние, которое можно отсчитывать на графике, должно быть не менее величины абсолютной ошибки измерения. Лучше всего брать масштаб графика таким, чтобы величина абсолютной ошибки соответствовала на графике отрезку 1мм. Это относится к величинам, откладываемым как по оси абсцисс, так и по оси ординат.

6. нанесенные на график точки полагается обводить кружком радиусом, равным абсолютной ошибке измеряемой величины. Вообще говоря, размер экспериментальных точек, наносимых на график, не являются произвольным, а должен быть выбран в соответствии с точностью измерений. Вокруг каждой точки должен быть построен прямоугольник со сторонами, равными абсолютной погрешности аргумента и функции. В частном случае этот прямоугольник превратится в квадрат, который можно заменить окружностью. Так в большинстве случаев погрешности значений функции больше погрешности аргумента, то наносят только погрешности функции в виде отрезка длиной, равной удвоенной погрешности в данном масштабе. При этом экспериментальные точки находятся в середине этого отрезка. Который в обоих концах ограничивается черточками (см. рис.).

7. нанесенные экспериментальные точки соединяют между собой плавной линией, без искривлений и углов (их наличие говорит о том, что в наблюдениях или вычислениях допущены грубые ошибки). Следовательно, график может служить для контроля и улучшения наблюдений.

8. кривая должна охватывать как можно больше точек или проходить между ними так, чтобы по обе стороны от нее точки располагались равномерно.

9. кривая на графике должна получаться не слишком крутой и не слишком пологой. Это достигается выбором разных масштабов по координатным осям.

Рис.2 Изображение результата на графике.

Пользуясь кривой можно проводить интерполирование, т.е. находить значение искомой величины для таких значений аргумента, которые непосредственно не наблюдались. Для этого из любой точки оси абсцисс можно провести ординату до пересечения с этой кривой. Длина этой ординаты будет представлять значение искомой величины для соответствующего значения независимого аргумента. Кроме того, можно определить значения одной величины, которые соответствуют максимальному или минимальному значению другой, хотя последняя и не определяется непосредственно.

Вопросы для самоконтроля

1. что называется физической величиной?

2. Что называется Измерением физической величины?

3. Какое измерение называется прямым?

4. Что называется действительным значением физической величины?

5. Что называется абсолютной, относительной погрешностью измерения?

6. каким образом можно увеличить точность измерения?

7. Как классифицируются погрешности по своим свойствам?

8. Как вычисляется оценка абсолютной погрешности прямого измерения?

9. как найти погрешность нониуса штангенциркуля, если она не указана на приборе?

10. каков алгоритм обработки результатов многократных измерений?

11. Как производят округление числового значения среднего арифметического?

12. сколько значащих цифр оставляется в окончательной записи погрешности результата измерения?

13. Как устроен штангенциркуль?

14. чему равна погрешность измерения, если в результате наблюдений получается ряд совершенно одинаковых значений?

15. как записывается окончательный результат измерения если:

a) <l>=61.345 Dl=0.473

b) <V>=28.038м³ DV=0.13м³

c) <t>=5.0075c Dt=0.05c

d) =274.386Па Dp=0.176Па

16. какое измерение называется косвенным?

17. как определяется погрешность результатов косвенных измерений?

18. в каких единицах выражается погрешность аргумента тригонометрических функций?

19. как оценивается абсолютная погрешность в случае однократного наблюдения?

20. чему равна абсолютная погрешность числа p, если используется значение p=3,14, а более точное – 3,142?

21. как определяется абсолютная погрешность физических констант?

22. как находится абсолютная погрешность величины, значение которой берется из таблицы?

23. как находится абсолютная погрешность величины ,которая определяется по графику?.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1

Оценка измеряемой физической величины с помощью доверительного интервала.

Цель работы: усвоить обработку результатов прямых измерений, измерить высоту цилиндрического тела.

Приборы и инструменты: штангенциркуль, цилиндрическое тело.

При домашней подготовке необходимо: 1) проработать пп.3.1-3.5 настоящих указаний, 2)составить бланк отчета о лабораторной работе, 3)приготовить ответы на вопросы для самоконтроля.

Описание штангенциркуля.

Рис.3

Штангенциркуль служит для линейных измерений. Он состоит из масштабной линейки 1 и нониуса 2 (см.рис.3). цена деления масштабной линейки 1 мм. Нониус – специальная шкала, дополняющая обычный масштаб и позволяющая повысить точность измерений в 10..20 раз. Нониус изготовляется так, что длина делений нониуса равна (kN-1) делений шкалы Na_н=(kN-1)а_ш, где а_н, а_ш – цена деления нониуса и основной шкалы. Величина l= а_ш/N называется погрешностью нониуса. Масштабная линейка и нониус снабжены измерительными выступами (губками) 3 и 4,расстояние между которыми изменяется при перемещении нониуса вдоль масштабной линейки. Винт 5 служит для фиксирования положения нониуса на масштабной линейке.

При измерениях штангенциркулем внешних размеров тело слегка зажимается между выступами 3 и 4. при этом нулевая отметка шкалы нониуса смещается относительно нулевой отметки масштабной линейки на величину длины l измеряемого тела. По масштабной линейке отсчитывают целое число наименьших делений n, до нулевой отметки шкалы нониуса и смотрят, какая отметка шкалы нониуса m совпадает с некоторой отметкой шкалы масштабной линейки. Зная величины n, m по формуле l=(n+lm) определяют нужный размер тела. Погрешность нониуса l наносится на масштабной линейке штангенциркуля.

Программа работы

1. ознакомиться с устройством штангенциркуля.

2. измерить высоту цилиндрического тела

3. обработка результатов наблюдений.

Порядок выполнения работы

1. убедиться, что штангенциркуль исправен, определить погрешность нониуса.

2. поместить цилиндр между выступами 3 и 4 штангенциркуля, слегка сжать их и произвести отсчет.

3. проделать еще 10 раз операции описанные в п.2

4. обработать результаты наблюдений.

Содержание отчета

1. титульный лист

2. цель работы

3. оборудование

4. исключение грубых погрешностей

5. обработка результатов наблюдений по методу Стьюдента

6. окончательный результат.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2

Измерение объема тела.

Цель работы: достичь прочного усвоения метода Стьюдента, усвоить обработку косвенных измерений; найти объем цилиндрического тела.

Приборы и материалы: штангенциркуль, цилиндрическое тело.

При домашней подготовке следует: проработать пп.3.1-3.5 настоящих указаний, 2)составить бланк отчета о лабораторной работе, 3)приготовить ответы на вопросы для самоконтроля, 4)вывести формулу для нахождения абсолютной погрешности измерения объема.

Программа работы.

1. измерение диаметра цилиндра

2. измерение объема цилиндра

Порядок выполнения работы.

1. убедиться, что штангенциркуль исправен, определить погрешность нониуса.

2. поместить цилиндр между выступами 3 и 4 штангенциркуля, слегка сжать их и произвести отсчет.

3. проделать еще 10 раз операции описанные в п.2

4. обработать результаты наблюдений

5. вычислить объем цилиндра по формуле <V>=(p<d>²<h>)/4 <d>, <h> -среднее значение диаметра и высоты цилиндра соответственно

6. найти абсолютную и относительную погрешности измерения объема

7. записать окончательный результат.

Содержание отчета.

1. титульный лист

2. цель работы

3. оборудование

4. расчетные формулы

<V>=

<d>, <h> -

Абсолютная погрешность:

DV =

Число p:

p= Dp= Dp/p=

6. Измерение диаметра цилиндра:

Ранжирование:

Размах:

Q₁= Q_n= Q_T=

Вывод:

Обработка результатов по методу Стьюдента

7. измерение объема цилиндра

<V>= DV= DV/V=

8. Окончательный результат:

Приложение 1

Тольяттинский государственный университет

Кафедра физики

Группа Студент

Отчет

О лабораторной работе № 1

<4 5 6 789 10 >

Дата добавления: 2015-02-13; просмотров: 10147;