МНОГОКРАТНОЕ ИЗМЕРЕНИЕ С НЕРАВНОТОЧНЫМИ ЗНАЧЕНИЯМИ ОТСЧЕТА

При многократном измерении с неравноточными значе­ниями отсчета, подчиняющимися нормальному закону рас­пределения вероятности, функцию правдоподобия можно представить в виде

если все значения отсчета, полученные, например, с помощью разных средств измерений, являются независимыми. Для оценки среднего значения результата измерения удобнее пе­рейти к логарифму функции правдоподобия

где С от не зависит. Решая при уравнение

получим

Это так называемое среднее взвешенное, в числителе кото­рого отдельные значения результата измерения суммируют­ся с "весами", обратно пропорциональными их дисперсиям. Тем самымболее точным значениям придается больший вес. Наличием суммы в знаменателе обеспечивается то, что в выражении

сумма всех весов

где нормированный вес каждого отдельного результата измерения

Математическое ожидание среднего взвешенного

М М

Таким образом, среднее взвешенное является несмещенной оценкой среднего значения результата измерения.

Дисперсия среднего взвешенного

Пример 20. Измерения образцовой меры длины, выполненные приборами разной точности, дали результаты, приведенные в табл. 14.

Таблица 14

Известно, что результат измерения вертикальным оптиметром под­чиняется нормальному закону распределения вероятности со стан­дартным отклонением 0,4 мкм; при измерении машиной типа Цейсс — соответственно, 0,8 мкм; машиной типа Сип — 0,7 мкм; минимет­ром с ценой деления 1 мкм — 0,5 мкм. Каково отклонение размера от номинального значения?

Решение. Заменяя дисперсии в выражении для среднего взвешен­ного их оценками, имеем:

1 1 1

Поскольку все Dl_i подчиняются нормальному закону распределения вероятности, то нормальному закону подчиняется и их сумма. Поэ­тому с вероятностью Р = 0,95 -2S £ Dl £ +2S .Окончательно:

Dl = 10,3. . . 11мкм.