III.4.3. Измерение момента инерции

Дадим определение момента инерции. ???

То, что момент инерции вычисляем – это ????? понятно.

Но как его измерить?? Кокой закон позволяет это сделать???

III.4.2. Измерение сил

Что такое сила?

Прежде чем мы научимся измерять силы, мы должны ответить на вопрос: Что такое сила? Если тело ускоряется, стало быть, на него что-то действует. А как найти это «что-то»? Для этого нужно установить «законы для действующих сил». Первые законы для сил тяготения были установлены Кеплером и Ньютоном.

Что за силы действуют на тело вблизи поверхности Земли? Это сила тяжести, направленная вертикально вниз, пропорциональная массе тела и для высот, много меньших чем радиус Земли R, почти не зависящая от высоты. Она равна

F=GmM/R² = mg,

где g=GM/R² – так называемое ускорение силы тяжести. Если тело до падения двигалось горизонтально с постоянной скоростью, то это движение и будет продолжаться с постоянной скоростью, однако движение в вертикальном направлении нам более интересно. По второму закону Ньютона

mg=m(d²x/dt²).

После сокращения массы m получаем, что ускорение в направлении x постоянно и равно g. Это хорошо известное движение свободно падающего тела.

Рассмотрим другой пример. Груз на пружине.

.

Рис 4.2.1. Груз на пружине

Поскольку сила тяжести компенсируется начальным натяжением пружины, то имеет смысл говорить только об избыточной силе. Если потянуть грузик вниз, то пружина растянется и потянет его вверх, если же толкать грузик вверх, то пружина сожмётся, и будет толкать его вниз. То есть, если вывести грузик из положения равновесия, то возникнут колебания грузика около положения равновесия. Возникает вопрос, могут ли уравнения Ньютона правильно описать эти движения? Если применить закон Ньютона для такого периодического осциллятора, то получим следующее уравнение:

-kx=m(dv_x/dt),

т.е. здесь мы встречаемся с таким положением, когда x-компонента скорости изменяется с быстротой, пропорциональной x. Предположим, пока, для простоты, что k/m равно единице. То есть, будем решать уравнение

-x=dv_x/dt.

Чтобы пойти в наших рассуждениях дальше, нужно сначала разобраться в том, что такое v_x (то, что это быстрота изменения положения, нам, разумеется, уже известно).

Смысл динамических уравнений

Нам известно, что v_x – это скорость, с которой тело движется в точке х в некоторый момент времени t. Для определенности предположим, что в момент t=0, х=1, а его скорость v_x=0. В любом положении, за исключением х=0 (положение равновесия) на груз действует сила и поэтому он движется. Если х>0 , то эта сила направлена вверх, если х<0, вниз. Следовательно, сила есть вектор. Она получается как результат произведения массы груза на производную скорости по времени t. Иными словами, производная импульса dр_x/dt=m(dv_x/dt) материальной точки по времени равна действующей на нее силе. Это положение называется вторым законом Ньютона. Масса, умноженная на ускорение, равна действующей силе. Фактическое содержание второго закона Ньютона, подчеркнем это еще раз, состоит в том, что сила F зависит только от координат и скорости материальной точки.

Груз на спиральной пружине является простейшим примером, подтверждающим второй закон Ньютона. Если немного оттянуть тело вниз из положения равновесия, а затем отпустить, то возникнут колебания груза вверх и вниз. При подходящих параметрах системы колебания будут затухать слабо. Мгновенное положение тела характеризуется координатой х - смещением тела из положения равновесия. Функция х(t) почти не отличается от синусоиды и представляется уравнением

х = А×Cos2pt/T, ()

где А и Т - постоянные, называемые амплитудой и периодом колебаний. Дважды дифференцируя это выражение, находим скорость и ускорение:

()

Сравнивая последнее выражение с первым, получим уравнение

()

или после умножения на массу тела

()

где

()

Величина силы (F_х) зависит только от удлинения пружины х - переменного параметра, определяющего положение внешних сил, оказывающих действие на рассматриваемое тело. Если к пружине подвесить тело другой массы, то изменится и период колебаний Т. Однако опыт показывает, что отношение m/T, а с ним и коэффициент k остаются без изменения. Значит, сила F определяется только растяжением пружины и совершенно не зависит от того, каким телом это растяжение вызвано.

Сила натяжения пружины F_хпропорциональна ее удлинению х. Как показали более точные исследования, этот результат является приближенным. Им можно пользоваться, когда удлинение пружины не очень велико. Он называется законом Гука. Величина k называется коэффициентом упругости или жёсткости пружины. Для конкретной пружины коэффициент k постоянен, но может меняться от пружины к пружине.