ПРОВЕРКА НОРМАЛЬНОСТИ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ РЕЗУЛЬТАТА ИЗМЕРЕНИЯ

При обработке экспериментальных данных существенное значение имеет вопрос о том, подчиняется или нет результат

измерения нормальному закону распределения вероятности. Непротиворечивость такой гипотезы должна быть обязатель­но проверена.

Поскольку ошибки искажают эмпирический закон рас­пределения вероятности результата измерения, постольку проверка предположения о его нормальности производится после исключения ошибок.

Правдоподобна или нет гипотеза о том, что результат из­мерения подчиняется нормальному закону распределения ве­роятности, можно определить уже по виду гистограммы, пос­троенной на основании экспериментальных данных. Порядок ее построения рассмотрен в примере 4. Наглядность отобра­жения гистограммой закона распределения вероятности ре­зультата измерения зависит от соблюдения следующих правил при ее построении:

1) интервалы , на которые разбивается ось абсцисс, следует выбирать, по возможности, одинаковыми;

2) число интервалов k устанавливать в соответствии со следующими рекомендациями:

3) масштаб выбирать таким, чтобы высота гистограммы относилась к основанию примерно, как 5 к 8.

Иногда по виду гистограммы можно с большой уверен­ностью заключить, что результат измерения подчиняется (или не подчиняется) нормальному закону распределения вероят­ности. Если, например, гистограмма имеет вид, показанный на рис. 34, а, то результат измерения определенно не подчиняется нормальному закону. Если же гистограмма имеет вид пока­занный на рис. 34, б, то возникает сомнение: достаточно ли хорошо она соответствует теоретической кривой нормального закона распределения нормальному закону. Если же гистограмма имеет вид пока­занный на рис. 34, б, то возникает сомнение: достаточно ли хорошо она соответствует теоретической кривой нормального закона распределения плотности вероятности, показанной пунктиром? Для разрешения этого сомнения нужно иметь правило, руководствуясь которым можно было бы принимать то или иное решение.

Существует несколько так называемых критериев согла­сия, по которым проверяются гипотезы о соответствии экспе­риментальных данных тому или иному закону распределения вероятности результата измерения. Наиболее распространен­ным из них является критерий К. Пирсона. При использовании этого критерия за меру расхождения экспериментальных дан­ных с теоретическим законом распределения вероятности ре­зультата измерения принимается сумма квадратов отклонения частностей /п от теоретической вероятности попадания отдельного

значения результата измерения в i-й интервал при­чем каждое слагаемое берется с коэффициентом п /

Если расхождение случайно, то подчиняется -распреде­лению (хи - квадрат распределению К. Пирсона). Кривые интегральной функции этого распределения представлены на рис. 35*. Интегральная функция определяет вероятность того что случайное число примет значение, меньшее аргумента этой функции. Поэтому, задавшись значением интегральной функции распределения К. Пирсона F ( ), можно проверить больше или меньше ее аргумента (см. рис. 35) вычисленное значение . Если меньше, то выбранной вероятности c² можно считать случайным числом, подчиняющимся - распределению К. Пирсона, т.е. признать, случайным расхожде­ние между эмпирической и теоретической плотностью рас­пределения вероятности результата измерения. Если же окажется, что > то с той же вероятностью придется приз­нать, что не подчиняется распределению К. Пирсона т.е. гипотеза о соответствии эмпирического закона распределения вероятности теоретическому не подтверждается.

*Здесь k соответствует числу интервалов только при проверке соответствия закона распределения вероятности результата измерения нормальному закону.

Пример 17.100 независимых числовых значений результата измере­ния напряжения цифровым вольтметром, каждое из которых повтори­лось m раз, приведены в первой графе табл. 9

Таблица 9

U	m	mU
8,30		8,30	-0,33	0,1089	0,1089
8,35		16,70	-0,28	0,0784,	0,1568
8,40		33,60	-0,23	0,0529	0,2116
8,45		42,25	-0,18	0,0324	0,1620
8,50		68,00	-0,13	0,0169	0,1352
8.55		85,50	-0,08	0,0064	0,0640
8,60		154,80	-0,03	0,0009	0,0162
8,65		147,05	0,02	0,0004	0,0068
8,70		104.40	0,07	0,0049	0,0588
- 8,75		78,75	0,12	0,0144	0,1296
.8,80		61,60	0,17	0,0289	0,2023
8,85		53,10	0,22	0,0484	0.2904
8,90		-	-	—	-
8,95		8,95	0.32	0,1024	0,1024

Проверить гипотезу о том, что результат измерения подчиняется нормальному закону распределения вероятности.

Решение. 1. Используя результаты вспомогательных вычислений, приведенные в третьей графе, найдем среднее арифметическое значение результата изменения-

2. Используя результаты вспомогательных вычислений в четвертой, пятой и шестой графах, найдем стандартное отклонение результата из­мерения :

3. Ни одно из значений результата измерения не отличается от среднего арифметического больше чем на 3 = 0,381. Ошибок, следо­вательно, можно считать, что нет.

4. При использовании критерия К. Пирсона в каждом интервале должно быть не меньше пяти независимых значений результата измере­ния. В соответствии с этим образуем интервалы так, как это представ­лено во второй графе табл. 10.

Таблица 10

i	Интервал
	( 8,425)		-1,614	-0,4467	0,0533	1,67	0,523
	(8,425;8,475)		-1,220	-0,3888	0,0579	-0,79	0,108
	(8.475;8,525)		-0,827	-0,2959	0,0929		0,179
	(8,525;8,575)		-0,433	-0,1676	0,1283	-1,29	0,624
	(8,575;8,625)		-0.039	-0,0156	0,1520	-2,83	0,516
	(8,625;8,675)		0,354	0,1383	0,1539	1,61	0,168
	(8,675;8,725)		0,748	0,2728	0,1345	-1,45	0,157
	(8,725;8,775)		1,142	0.3733	0,1005	-1,05	0,110
	(8,775;8,825)		1,536	0,4377	0,0644	0,56	0,048
	(8,825;+ )			.0,5000	0,0623	0,77	0,095

5. Определим, на сколько и в каком направлении отстоит от сред­него арифметического правая граница , каждого интервала:

Полученные значения параметра t (см. разд. 2.3.4) внесем в четвертую графу табл. 10.

6. По значению . из графика на рис. 22 можно определить, с какой вероятностью отдельное значение результата измерения, подчиняющего­ся нормальному, закону распределения вероятности, попадает в интер­вал С вероятностью в два раза меньшей оно попадает в левую или правую половину этого интервала. Эта вероятность, как пока­зано в разд. 2.3.4 (формула 9), определяется интегралом вероятности - функцией Лапласа , так что для повышения точности расчетов можно пользоваться не графиком, а таблицами функции Лапласа. Полу­ченные из таблиц значения занесены в пятую графу табл. 10.

7. Теоретическая вероятность попадания в i-й интервал отдель­ного значения результата измерения, подчиняющегося нормальному закону распределения вероятности, очевидно равна

Принимая во внимание, что а поместим рассчитанные значения , в шестую графу табл. 10.

8. В седьмую и восьмую графу внесены результаты остальных вспомогательных вычислений. Суммирование чисел в восьмой графе дает

х² = 2,528.

9. Из графика на рис. 35 видно, что рассчитанное значение , соответствующего, например, вероятности 0,95. Таким образом мож­но принять гипотезу о том, что результат измерения подчиняется нор­мальному закону.

Критерий согласия К. Пирсона широко применяется для проверки гипотез о том, что результат измерения подчиняется вполне определенному закону распределения вероятности. При соответствующая гипотеза принимается, при - отвергается. Однако даже вьполнение неравенства не может служить доказательством того, что резуль­тат измерения подчиняется этому закону распределения ве­роятности.

При использовании критерия К. Пирсона, как и в случае применения других критериев, возможны два рода ошибок. Ошибка первого рода состоит в отклонении верной гипотезы, а ошибка второго рода — в принятии неправильной. Для ил­люстрации на рис. 36 показаны кривые плотности распределения вероятности величины в случаях, когда проверяемая гипотеза верна — кривая 1, и когда неверна — кривая 2.

Если вероятности, с которой выносится решение, соответствует значение , то при всех гипотеза будет приниматься, а при всех - отклоняться. Вероятности ошибок перво­го и второго рода при этом:

Обе они зависят от значения , которое в свою очередь оп­ределяется вероятностью , с которой принимается ре­шение. С повышением этой вероятности значение увели­чивается, вероятность ошибки первого рода уменьшается, а ошибки второго рода — возрастает, и наоборот. Таким обра­зом, нецелесообразно принимать решение с очень высокой степенью вероятности. Обычно Р выбирается равной 0,9 . . . 0,95.

При проверке нормальности закона распределения вероят­ности результата измерения применение критерия К. Пирсо­на дает хорошие результаты только, если п > 40 ... 50. При 10 ... 15 < п < 40 ... 50 применяется так называемый состав­ной критерий. Сначала рассчитывается

и проверяется выполнение условия

где и зависят от вероятности Р*, с которой прини­мается решение, и находятся по табл. 11.

Таблица 11

n	Р*= 0,90	Р* = 0,95	.Р*=0,99
. 11 16 21 26 31 36 41 46 51	0,7409 7452 7495 7530 7559 7583 7604 7621 7636	0,8899 8733	0,7153 7236 7304 7360 7404 7440 7470 7496 7518	0,9073 8884	0,6675 6829	0,9359 9137

Если это условие соблюдается, то дополнительно про­веряются "хвосты" теоретического и эмпирического законов распределения вероятности. При 10 20 считается допус­тимым отклонение одного из независимых значений результа­та измерения , от среднего арифметического больше чем на 2,5 Sq , при 20 < к < 50 — двух, что соответствует довери­тельной вероятности P** 0,98.

Несоблюдения хотя бы одного из двух условий достаточ­но для того, чтобы гипотеза о нормальности закона распреде­ления вероятности результата измерения была отвергнута. В противном случае гипотеза принимается с вероятностью Р Р* +Р**-1.

При п < 10 ... 15 гипотеза о том, что результат измерения подчиняется нормальному закону распределения вероятности, не проверяется. Решение принимается на основании анализа априорной информации.

2.6.3. ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ, ПОДЧИНЯЮЩИХСЯ НОРМАЛЬНОМУ ЗАКОНУ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ

Если итоги проверки большого массива эксперименталь­ных данных по критерию не противоречат гипотезе о том, что результат измерения подчиняется нормальному закону распределения вероятности, то можно считать, что среднее арифметическое значение результата измерения также подчи­няется нормальному закону (см. рис. 32), а среднее значение среднего арифметического (см. разд. 2.6.1)

Как было показано в разд. 2.3.4, ни одно из случайных зна­чений, подчиняющихся нормальному закону распределения вероятности, не может отличаться от среднего значения боль­ше чем на половину доверительного интервала. На основа­нии формулы (9) можно написать

Заменяя среднее квадратическое отклонение среднего ариф­метического его оценкой

вытекающей из выражения (11), и принимая во внимание,

что, как показано в разд. 2.4, = Q, получим:

где - половина доверительного интервала, a t при выб­ранной доверительной вероятности определяется по верхней кривой на рис. 22.

Порядок соответствующих действий показан на рис. 33. Сначала находится стандартное отклонение среднего ариф­метического, затем выбирается доверительная вероятность и определяется соответствующее ей значение t по верхней кри­вой на рис. 22. С выбранной доверительной вероятностью значение измеряемой величины Q не отличается от среднего арифметического значения результата измерения больше, чем на половину доверительного интервала

При небольшом объеме экспериментальных данных сред­нее арифметическое значение результата измерения, подчи­няющегося нормальному закону распределения вероятности, само подчиняется закону распределения вероятности Стъюдента (псевдоним B.C. Госсета) с тем же средним значением , = Q . Графики плотности распределения вероятности, соот­ветствующие этому закону, показаны на рис. 37. При увели­чении п распределение вероятности Стьюдента быстро приб­лижается к нормальному, становясь почти неотличимым от не­го уже при п > 40 ... 50.

Доверительная вероятность того, что любое случайное значение среднего арифметического, подчиняющегося закону распределения вероятности Стьюдента, не отличается от соседнего значения больше, чем на половину доверительного интервала,

где (t) — интегральная функция распределения вероятнос­ти Стьюдента. По этой формуле на рис. 38 построены графи­ки, показывающие, какое значение имеет объем выборки п. При п = 4, например, вероятность того, что никакое значе­ние среднего арифметического, подчиняющегося закону рас­пределения вероятности Стьюдента, не отличается от средне­го значения больше чем на, 2 , составляет 0,86; при п = 6 она равна 0,9; при п = 10 получается равной 0,924; при п = 20 уже 0,94 и т.д. Верхняя кривая на рис. 38 соответствует усло­вию п > 40 ... 50 и практически не отличается от верхней кривой на рис. 22.

По аналогии с предыдущим нетрудно показать, что

где по-прежнему — половина доверительного интерва­ла, а г при выбранной доверительной вероятности определяет­ся по графику на рис. 38.

Порядок действий при обработке небольшого объема экспериментальных данных отличается только тем, что после выбора доверительной вероятности t с учетом п определяется по графику на другом рисунке.

При совсем незначительном количестве эксперименталь­ных данных ( 10 ... 15) и принятой гипотезе о том, что результат измерения подчиняется нормальному закону рас­пределения вероятности, выявление ошибок по - правилу трех сигм" не производится. Остальной порядок действий (см. рис. 33) не отличается от предыдущего. Доверительный интервал при фиксированной доверительной вероятности, как это видно из графика на рис. 38, с уменьшением объе­ма экспериментальных данных расширяется; точность изме­рения, следовательно, снижается, приближаясь к точности однократного измерения, при .