Линейно независимые и линейно зависимые системы функций. Определитель Вронского и его свойства

Определение: Система функций - называется линейно независимой , если линейная комбинация коэффициенты .

Определение:Систему функций - называют линейно зависимой, если и есть коэффициенты .

Возьмём систему двух линейно зависимых функций т.к или - условие линейной независимости двух функций.

Примеры:

1) линейно независимы

2) линейно зависимы

3) линейно зависимы

Определение:Дана система функций - функций переменной х.

Определитель - определитель Вронского для системы функций .

Для системы двух функций определитель Вронского выглядит следующим образом:

Свойства определителя Вронского:

1) Если - линейно зависимы на [a;b] на этом отрезке.

2) Если - линейно независимые, решения дифференциального уравнения при любых значениях х в области, где определены функции а₁…а_n

Теорема:Об общем решении линейного однородного дифференциального уравнения 2 порядка.

Если y₁ и y₂ – линейно независимые решения линейного однородного дифференциального уравнения 2 порядка, то

общее решение имеет вид:

Доказательство: - решение по следствию из Т1 и Т2.

Если даны начальные условия то и должны находится однозначно.

- начальные условия.

Составим систему для нахождения и . Для этого подставим начальные условия в общее решение.

определитель этой системы: - определитель Вронского, вычисленный в точке х₀

т.к и линейно независимы (по 2⁰)

т.к определитель системы не равен 0, то система имеет единственное решение и и находятся из системы однозначно.