Дифференциальные уравнения 2 порядка, допускающие понижение порядка

1) Уравнения вида:

уравнение решается двукратным интегрированием по переменной х.

Проинтегрируем 1 раз по х.

Проинтегрируем 2 раз по х

общее решение.

Замечание: для дифференциального уравнения порядка n: - интегрировать нужно n раз.

Примеры:

2) Дифференциальные уравнения не содержащие явно y.

- нет явно y

Замена

Подставим замену в дифференциальное уравнение, получим

получим дифференциальное уравнение 1 порядка.

Найдём решение этого уравнения:

сделаем обратную замену

проинтегрируем обе части по х - общее решение

Пример:

3) Дифференциальные уравнения 2 порядка не содержащие явно х.

- нет явно х.

Замена: у-новая переменная

- новая функция

- её производная

Подставим замену в исходное уравнение

получим дифференциальное уравнение 1 порядка:

- его решение

Сделаем обратную замену -

- дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные:

; - общее решение (вид неявный)

Примеры:

1.

2.