Однородные дифференциальные уравнения 1 порядка

Определение:Функция называется однородной порядка n, если

Пример: - однородная функция порядка n=2

Т.к

Определение:Однородная функция порядка 0 называется однородной.

Определение:Дифференциальное уравнение называется однородным, если - однородная функция, т.е

Заменим

Таким образом однородное дифференциальное уравнение может быть записано в виде:

С помощью замены , где t – функция переменной х, однородное дифференциальное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Замена

- подставим в уравнение

Переменные разделены, проинтегрируем обе части уравнения

Сделаем обратную замену, подставив вместо , получим общее решение в неявном виде.

Пример:

Однородное дифференциальное уравнение может быть записано в дифференциальной форме.

M(x;y)dx+N(x;y)dy=0, где M(x;y) и N(x;y) – однородные функции одинакового порядка.

Разделим на dx и выразим

Пример:

1)