Линейные однородные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами
Это уравнения вида: , где p и g – числа(*)
Определение:Уравнение - называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (*) – обычное квадратное уравнение, решение которого зависит от D, возможны следующие случаи:
1)D>0 - два действительных различных решения.
2)D=0 - один действительный корень кратности 2.
3)D<0 - два комплексно сопряжённых корня.
Для каждого из этих случаев укажем фундаментальную систему решений, составленную из 2 функций и .
Будем показывать что:
1) и - ЛНЗ
2) и - решение (*)
Рассмотрим 1 случай D>0 - 2 действительных различных корня.
Характеристическое уравнение:
В качестве ФСР возьмём:
а) покажем ЛНЗ
б) покажем, что - решение (*), подставим
+ p +g =0
верное равенство решение (*)
аналогично показывается для y2.
Вывод: - ФСР (*) общее решение
Рассмотрим 2случай: D=0 - 1 действительный корень кратности 2.
В качестве ФСР возьмём:
ЛНЗ: ЛНЗ есть.
- решение уравнения (см. 1 случай). Покажем что - решение.
подставим в ДУ
- решение.
Вывод:ФСР
Пример:
3 случай:D<0 - 2 комплексно сопряжённых корня.
подставим в характ. уравнение
комплексное число равно 0, когда действительная и мнимая часть равны 0.
- будем использовать.
Покажем, что - образуют ФСР.
А)ЛНЗ:
Б) - решение ДУ
верное равенство - решение ДУ.
Аналогично показывается, что тоже решение.
Вывод:ФСР:
Общее решение:
Пример:
Если заданы н.у.
- то сначала находят общее решение , его производную: , а потом в эту систему подставляют н.у и находят и .
Пример:
Н.у:
Дата добавления: 2015-01-09; просмотров: 823;