Метод интегрирования по частям

Пусть u = u(x), v = v(x) – функции, имеющие непрерывные производные. Тогда d(uv) = udv + vdu.

Интегрируя это равенство, получим

или .

Порученная формула называется формулой интегрирования по ча­стям.Она дает возможность свести вычисление интеграла udv к вы­числению интеграла vdu, который может оказаться существенно более простым, чем исходный.

Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное вы­ражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в виде произведения двух сомножителей и и dv (это, как правило, можно осуще­ствить несколькими способами); затем, после нахождения v и du, используется формула интегрирования по частям. Иногда эту формулу прихо­дится использовать несколько раз.

Укажем некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять ме­тодом интегрирования по частям.

1. Интегралы вида P(x)e^kx dx, Р(х)× sin kxdx, Р(х)×
· cos kxdx, где Р(x) – многочлен, к – число. Удобно положить
и = Р(х), а за dv обозна­чить все остальные сомножители.

2. Интегралы вида P(x)arcsinxdx, P(x)arcosxdx,
P(x)lnxdx, Р(х) arctgxdx, P(x)arcctgxdx. Удобно положить P(x) dx = dv, а за и обозначить остальные сомножители.

3. Интегралы вида е^ах× sin bxdx, е^ах × cos bxdx, где а и b – числа.

За u можно принять функцию и = е^ах.

Пример.