Точки локального экстремума.

Определение 1.6.1. Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции , если для любого в некоторой окрестности точки выполнено неравенство

.

Локальный минимум и максимум объединены общим названием – локальный экстремум.

Теорема 1.6.1 (необходимое условие локального экстремума).

Если функция дифференцируема в точке и имеет в этой точке локальный экстремум, то .

Геометрически это означает, что если в точках локального экстремума существуют касательные, то они параллельны оси абсцисс.

Теорема 1.6.2 (достаточное условие существование локального экстремума).

Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки . Если при переходе через точку слева направо производная меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то в точке функция имеет локальный максимум (минимум); в противном случае функция не имеет локального экстремума в точке .

Пример 1.Найти точки локального экстремума и интервалы монотонности функции .

Решение: Найдем производную . Приравниваем ее к нулю и решаем уравнение , находим две точки возможного экстремума: . Видно, что при переходе через точку

меняет знак с «+» на «-», следовательно, в этой точке локальный максимум; аналогично устанавливается, что в точке функция имеет локальный минимум.

Найдем теперь интервалы монотонности функции. Поскольку при , то функция монотонно возрастает на этом интервале; (1, 3) является интервалом монотонного убывания , а на интервале функция снова монотонно возрастает .