Тема 9.Дифференциальные уравнения.

Основные теоретические сведения.

1. Общим решениемдифференциального уравненияпервого порядка называется дифференцируемая функция y= (х,С), которая при любом значении произвольной постоянной С является решением данного уравнения. Решения, получающиеся из общего решения y= (х,С) при определенном значении произвольной постоянной С, называются частными. Задача нахождения частного решения, удовлетворяющего начальным условиям y= при (другая запись ), называется задачей Коши.

График всякого решения y= (х) данного дифференциального уравнения, построенный на плоскости хОy, называется интегральной кривой этого уравнения.

2. Уравнение вида у′+А(х)у=В(х) называется линейным. Если В(х)=0, то уравнение называется однородным; если В(х) 0 неоднородным. Общее решение однородного уравнения получается путем разделения переменных; общее решение неоднородного уравнения получается из общего решения соответствующего однородного уравнения с помощью вариации произвольной постоянной интегрирования С.

Данное неоднородное уравнение можно интегрировать также с помощью замены у=uv, где u, v – две неизвестные функции.

3. Дифференциальное уравнение n–го порядка, разрешенное относительно производной, имеет вид =f(х, у, у′,…, ).

Задача нахождения решения у= (х) данного уравнения, удовлетворяющего начальным условиям ; ; ; … ; , называется задачей Коши.

Для нахождения частного решения иногда используют так называемые краевые условия. Эти условия (их число не должно превышать порядка уравнения) задаются не в одной точке, а на концах некоторого промежутка. Краевые условия ставятся лишь для уравнений порядка выше первого.

4. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.Если в уравнении =f(х, у, у′, … , ) функция f(х, у, у′,…, ):

a) непрерывна по всем своим аргументам х, у, у′, … , в некоторой области D их изменения;

б) имеет ограниченные в области D частные производные по аргументам у, у′, … , то найдется интервал h< х < +h (h >0), на котором существует единственное решение у= (х) данного уравнения, удовлетворяющее условиям у( )= ; у′( )= ; … ; , где значения х= ; у= ; у′= ; … ; содержатся в области D.

Проинтегрировать ( в конечном виде ) уравнение n–го порядка можно только в некоторых частных случаях.

5. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид , где числа, причем ≠0. Если f(х)=0, то уравнение называется однородным, а если f(х)≠ 0–неоднородным.

6. Квадратное уравнение называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения . Пусть D= дискриминант квадратного уравнения. Возможны следующие случаи:

1) D>0 – общим решением уравнения является функция ( и корни характеристического уравнения);

2) D=0 – общим решением служит функция у= (k–корень характеристического уравнения);

3) D<0–общим решением является функция ( корни характеристического уравнения).

7. Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами основывается на следующей теореме .

Теорема.Если некоторое частное решение неоднородного уравнения =f(х)и Y–общее решение соответствующего однородного уравнения , то общее решение неоднородного уравнения имеет вид у=Y+у*.

Укажем правило нахождения частного решения неоднородного уравнения методом неопределенных коэффициентов.

1) Пусть f(х)= ; тогда:

а) у*= , если нуль не является корнем характеристического уравнения;

б) у*= , если нуль является простым корнем характеристического уравнения;

в) у*= , если нуль является двукратным корнем характеристического уравнения.

2) Пусть f(х)= ; тогда:

а) у*= , если число не является корнем характеристического уравнения;

б) у*= , если число является корнем характеристического уравнения;

в) у*= , если число является двукратным корнем характеристического уравнения.

3) Пусть f(х)= ; тогда:

а) у*= , если число не является корнем характеристического уравнения;

б) у*= , если число является корнем характеристического уравнения.

Пример 1.Найти общее решение уравнения ху+ +ху′=0 и частное решение, удовлетворяющее начальному условию у(1)=2.

Решение.Перепишем данное уравнение так: и рассмотрим однородное уравнение х(у′+у)=0. Так как х≠0 (значение х=0 не является решением неоднородного уравнения ), то общее решение однородного уравнения.

Применяем далее метод вариации произвольной постоянной С. Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде у=С(х) ;

у′=С′(х) . Подставив значения у и у′ в неоднородное уравнение, получим

хС′(х) хС(х) +хС(х) = х С(х)= .

Так как ≠0, то

Подставив это значение С(х) в общее решение неоднородного уравнения, получим у=(lnх+С) общее решение неоднородного уравнения.

Для нахождения частного решения подставим значения х=1, у=2 в общее решение: у(1)=2 2=(0+С) С=2. Значит у=(lnх+2) частное решение неоднородного уравнения.

Пример 2. Найти общее решение уравнения 2ху′′′=у′′ и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям у(1)= ; у′(1)=0; у′′(1)=1.

Решение. Пусть у′′=z. Имеем 2хz′ z=0

Но z=у′′ ′′= Следовательно, у= общее решение дифференциального уравнения.

Чтобы найти частное решение, подставим в выражения для у, у′ и у′′ значение х=1:

;

=0;

Из системы уравнений находим ; . Значит, искомое частное решение имеет вид:

Пример 3. Найти общее решение уравнения y′′ ′+13у=5sin2х и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям = при х=0.

Решение. Рассмотрим однородное уравнение y′′ ′+13у=0. Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид +4k+13=0, откуда Следовательно, Y= общее решение однородного уравнения.