Дифференцирование неявных функций.

Производная неявной функции , заданной с помощью уравнения , где дифференцируемая функция переменных и , может быть вычислена по формуле

при условии

Производные высших порядков неявной функции можно найти последовательным дифференцированием указанной формулы, рассматривая при этом как функцию от .

Аналогично, частные производные неявной функции двух переменных , заданной с помощью уравнения , где дифференцируемая функция переменных и , могут быть вычислены по формулам

при условии

6. Экстремум функции.

Функция имеет максимум (минимум) в точке , если значение функции в этой точке больше (меньше), чем ее значение в любой другой точке некоторой окрестности точки , т.е. [соответственно ] для всех точек , удовлетворяющих условию , где достаточно малое положительное число.

Максимум или минимум функции называется ее экстремумом. Точка , в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума.

Если дифференцируемая функция достигает экстремума в точке , то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, т.е.

(необходимые условия экстремума).

Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными точками. Не всякая стационарная точка является точкой экстремума.

Пусть стационарная точка функции . Обозначим

и составим дискриминант Тогда:

а) если то функция имеет в точке экстремум, а именно максимум при и минимум при

б) если то в точке экстремума нет (достаточные условия наличия или отсутствия экстремума);

в) если то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).

Пример 1.Дана функция Найти и .








Дата добавления: 2014-12-03; просмотров: 1358;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.004 сек.