Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Это будет уравнение вида

y'' + py' + qy = 0, где . (6)

Для решения этого уравнения составляем и решаем соответствующее ему характеристическое уравнение

k2 + pk + q = 0. (7)

При его решении в зависимости от дискриминанта D могут встретиться следующие три случая:

1. . Тогда уравнение (7) имеет два различных действительных корня k1 и k2. Дифференциальное уравнение (6) имеет линейно независимые частные решения y1 = , y2 = .

При этом y = C1 · + C2 · — общее решение уравнения (6).

Пример. Для решения уравнения составляем характеристическое уравнение . Отсюда k1 = 2, k2 = 1, y = — общее решение.

 

2. D = 0. Уравнение (7) имеет два равных действительных корня k1 = k2 = k. Уравнение (6) имеет линейно независимые частные решения y1 = ekx, y2 = xekx. Тогда y = C1 · + C2 · — общее решение уравнения.

Пример. Уравнение имеет характеристическое уравнение k2 + 2k + 1 = 0, откуда k1 = k2 = –1.

Тогда y = — общее решение.

3. D < 0. Уравнение (7) не имеет решений во множестве R действительных чисел, но имеет решение во множестве C комплексных чисел (т. е. чисел вида , , i — мнимая единица, обладающая свойством i2 = –1). Тогда уравнение (6) имеет линейно независимые частные решения , .

При этом — общее решение.

Пример. Уравнение имеет в качестве характеристического уравнение . Решая его, имеем:

.

Общим решением дифференциального уравнения будет

.








Дата добавления: 2014-12-02; просмотров: 1074;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.004 сек.