Типовая задача 6. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию .

Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию .

Решение. Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка решаем методом Бернулли. Полагаем, что y = u · v, где u, v — некоторые неизвестные пока функции. Тогда y' = u' · v + u · v'. Подставляя в данное уравнение вместо y, y' их указанные значения, получим:

или

. (9)

Выберем функцию таким образом, чтобы выполнялось равенство .

Отсюда, учитывая, что , представим уравнение в виде

.

Интегрируем: .

Отсюда

где с = lnc₁ ,

где с₂ = c₁ .

Пусть с₂ = 1. Тогда .

Подставляя полученное значение функции v в формулу (9),
получим:

= , ,

, , u = sin x + C.

Таким образом, — общее решение данного дифференциального уравнения.

Теперь решаем задачу Коши. Подставляем в формулу общего решения вместо х, у соответственно числа :

Итак, — частное решение данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее поставленному начальному условию.

Ответ: , .