Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Это будет уравнение вида

. (8)

Теорема. Общее решение Y линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

есть сумма его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения (6), т. е. Y = y + .

В некоторых случаях частное решение уравнения (8) можно найти по виду правой части f(x).

1. f(x) = · P_n(x),

где P_n(x) — многочлен n-й степени и число не является корнем характеристического уравнения однородного уравнения (6). Тогда частное решение следует искать в виде

= · Q_n(x),

где Q_n(x) — многочлен n-й степени, но с неопределенными коэффициентами.

Если же — корень характеристического уравнения кратности r, то частное решение ищут в виде

= · Q_n(x).

2. f(x) = (a · cos + b · sin ), не являются корнями характеристического уравнения. Тогда частное решение ищут в виде

= (A · cos + B · sin ),

где A, B — некоторые неопределенные коэффициенты.

Если же — корни характеристического уравнения, то частное решение ищут в виде

= x · · (A · cos + B · sin ).

Вопросы для самопроверки

Что называется обыкновенным дифференциальным уравнением? Приведите примеры.

Что называется общим решением дифференциального уравнения n-го порядка? Что такое частное решение этого уравнения?

Где применяются дифференциальные уравнения в области экономики? Приведите примеры.

В чем состоит задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной? Опишите геометрическую интерпретацию этой задачи.

Какое дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными? Как оно решается?

Какое уравнение называется линейным неоднородным уравнением первого порядка и как оно решается?

Что называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка? Какими свойствами обладает общее решение этого уравнения?

Каким образом решается линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами?

Что называется линейным неоднородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами? Какова структура его общего решения?

Какие вы знаете случаи нахождения частного решения неоднородного уравнения по виду его правой части?