Типовая задача 7. Найти общее решение дифференциального уравнения y'' – 5y' + 4y = = x2 – 1.

Найти общее решение дифференциального уравнения y'' – 5y' + 4y =
= x² – 1.

Решение. Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решаем однородное уравнение y'' – 5y' + 4y = 0. Для этого составляем характеристическое уравнение k² – 5k + 4 = 0, откуда k₁ = 1, k₂ = 4.

Тогда y = C₁ · e^x + C₂ · e^4x — общее решение однородного уравнения.

Находим частное решение неоднородного уравнения. Его будем искать в виде .

Тогда . Подставляя полученные значения , , в исходное уравнение, будем иметь:

2A – 10Ax – 5B + 4Ax² + 4Bx + 4C = x² – 1,

или

4Ax² + (4B – 10A) · x + 2A – 5B + 4C = x² – 1.

Два многочлена между собой равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях. Отсюда

Таким образом,

Итак, — общее решение данного неоднородного уравнения.

Ответ: .