Функция распределения случайных величин. Непрерывные случайные величины

Функцией распределения СВ Х называется такая функция F(X), которая для каждого х выражает вероятность того, что СВ Х примет значение, меньшее х:

На рис. 1.2 дана функция распределения для ряда распределения из табл. 1.1. Пример формульного представления функции распределения:

F
1,0
0,5
	1,0	1,2	1,4		1,6	1,8	2,0	2,2	2,4	X

Рис. 1.2. Пример функции распределения для дискретной СВ

Свойства функции распределения (ФР):

1. ФР СВ есть неотрицательная функция: 0 £ F(x) £ 1.

2. ФР СВ есть неубывающая функция: если х₁< х₂, то F(x₁) £ F(x₂)

3. F(-¥) = 0, F(+¥) = 1.

4. Вероятность попадания СВ Х в интервал [х₁, х₂) равна приращению ее ФР на этом интервале: Р(х₁ £ Х < х₂ ) ₌ F(х₂) - F(х₁).

СВ Х называется непрерывной, если ее ФР непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.

Плотность вероятности (распределения) j(х) непрерывной СВ есть производная ее ФР: j(х) = F’(x). Плотность вероятности существует только для непрерывных СВ.

Свойства плотности вероятности j(х) СВ Х:

1. j(х) неотрицательная функция: j(х) ³ 0.

2. Вероятность попадания непрерывной СВ в интервал [а,b]:

P(a £ X £ b) = .	(1.7)
33.	F(x) = .	(1.8)
44.	.	(1.9)

Для непрерывной СВ Х МО и дисперсия определяются так:

а = М(Х) = ,	(1.10)
D(x) = , или D(x) = .	(1.11)

Числовые характеристики СВ, включая МО, дисперсию, СКО, делятся на начальные n_k и центральные m_k моменты k-го порядка:

для дискретных СВ:
nk = S pi	mk =S (xi - a)kpi,
для непрерывных СВ:
nk=	mk= .