Основные распределения случайных величин

1. Дискретная СВ имеет биноминальный ЗР, если она принимает значения 0, 1, 2, ... , m, ... , n с вероятностями (формула Бернулли):

Р(Х=m) = pmqn-m,

(1.12)

где 0 < p < 1, q = 1-p, m = 0, 1, ... ,n.

Биноминальный ЗР представляет собой закон распределения числа X = m наступлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одинаковой вероятностью р. Числовые характеристики ЗР: М(Х) = np, D(X) = npq.

2. Дискретная СВ Х имеет ЗР Пуассона, если она принимает значения 0, 1, 2, ... ,..., m, ... с вероятностями:

.

(1.13)

Для ЗР Пуассона М(Х) = l, D(X) = l.

3. Непрерывная СВ Х распределена по показательному (экспоненциальному) ЗР, если ее плотность вероятностей имеет вид:

(1.14)

Числовые характеристики: М(Х) = 1/l, D(X) = 1/l².

4. Непрерывная СВ Х распределена по равномерному ЗР, если ее плотность вероятности имеет вид:

(1.15)

Числовые характеристики ЗР: М(Х) = (a+b)/2, D(X) = (b-a)²/12.

5. Непрерывная СВ Х имеет нормальный ЗР (закон Гаусса), если ее плотность вероятности имеет вид:

jN(х) = .

(1.16)

Числовые характеристики ЗР: М(Х) = a, D(X) = s² . Если а=0 и s²=1, то такой нормальный ЗР называется стандартным (нормированным). С его помощью определяется функция (интеграл вероятностей) Лапласа, которая равна площади под стандартной нормальной кривой N(0, 1) на отрезке [-х, х]:

Ф(х) = .

Через функцию Лапласа выражается нормальная функция распределения СВ Х :

(1.17)

Свойства СВ Х, распределенной по НЗР:

1) Вероятность попадания СВХ в интервал [-х, х]:

P(x1 £ X £ x2) =

(1.18)

где t₁ = (x₁- а)/s и t₂ = (x₂- а)/s.

2) Вероятность того, что отклонение СВ Х от МО а не превысит некоторую D>0, равна:

где t=D/s.

Отсюда вытекает правило трех сигм: если СВ Х имеет ЗР N(a, s²), то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале (а-3s, а+3s).

6. Распределением c² (хи-квадрат) с k степенями свободы называется распределение суммы квадратов k независимых СВ, распределенных по стандартному НЗР:

,

(1.20)

где Z _i имеет ЗР N(0, 1).

7. Распределением Стьюдента (t-распределением) называется распределение СВ t:

,

(1.21)

где Z - СВ с НЗР N(0, 1), c² - не зависимая от Z СВ с c²-распределением с k степенями свободы. Уже при k > 30 распределение можно считать нормальным.

8. Распределением Фишера-Снедекора (F-распределением) называется распределение СВ F:

,

(1.22)

где c²(k₁) и c²(k₂) - СВ, имеющие c² - распределения с k₁ и k₂ степенями свободы.