Основные распределения случайных величин

 

1. Дискретная СВ имеет биноминальный ЗР, если она принимает значения 0, 1, 2, ... , m, ... , n с вероятностями (формула Бернулли):

 

Р(Х=m) = pmqn-m, (1.12)

где 0 < p < 1, q = 1-p, m = 0, 1, ... ,n.

Биноминальный ЗР представляет собой закон распределения числа X = m наступлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одинаковой вероятностью р. Числовые характеристики ЗР: М(Х) = np, D(X) = npq.

2. Дискретная СВ Х имеет ЗР Пуассона, если она принимает значения 0, 1, 2, ... ,..., m, ... с вероятностями:

 

. (1.13)

 

Для ЗР Пуассона М(Х) = l, D(X) = l.

3. Непрерывная СВ Х распределена по показательному (экспоненциальному) ЗР, если ее плотность вероятностей имеет вид:

 

(1.14)

 

Числовые характеристики: М(Х) = 1/l, D(X) = 1/l2.

4. Непрерывная СВ Х распределена по равномерному ЗР, если ее плотность вероятности имеет вид:

 

(1.15)

 

Числовые характеристики ЗР: М(Х) = (a+b)/2, D(X) = (b-a)2/12.

5. Непрерывная СВ Х имеет нормальный ЗР (закон Гаусса), если ее плотность вероятности имеет вид:

 

jN(х) = . (1.16)

 

Числовые характеристики ЗР: М(Х) = a, D(X) = s2 . Если а=0 и s2=1, то такой нормальный ЗР называется стандартным (нормированным). С его помощью определяется функция (интеграл вероятностей) Лапласа, которая равна площади под стандартной нормальной кривой N(0, 1) на отрезке [-х, х]:


Ф(х) = .

 

Через функцию Лапласа выражается нормальная функция распределения СВ Х :

 

(1.17)

 

Свойства СВ Х, распределенной по НЗР:

1) Вероятность попадания СВХ в интервал [-х, х]:

 

P(x1 £ X £ x2) = (1.18)

 

где t1 = (x1- а)/s и t2 = (x2- а)/s.

2) Вероятность того, что отклонение СВ Х от МО а не превысит некоторую D>0, равна:

 

P(| X-а| £ D) = Ф(t), (1.19)

 

где t=D/s.

Отсюда вытекает правило трех сигм: если СВ Х имеет ЗР N(a, s2), то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале (а-3s, а+3s).

6. Распределением c2 (хи-квадрат) с k степенями свободы называется распределение суммы квадратов k независимых СВ, распределенных по стандартному НЗР:

 

, (1.20)

 

где Z i имеет ЗР N(0, 1).

7. Распределением Стьюдента (t-распределением) называется распределение СВ t:

 

, (1.21)

 

где Z - СВ с НЗР N(0, 1), c2 - не зависимая от Z СВ с c2-распределением с k степенями свободы. Уже при k > 30 распределение можно считать нормальным.

8. Распределением Фишера-Снедекора (F-распределением) называется распределение СВ F:

 

, (1.22)

 

 

где c2(k1) и c2(k2) - СВ, имеющие c2 - распределения с k1 и k2 степенями свободы.

 


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Функция распределения случайных величин. Непрерывные случайные величины | Многомерные случайные величины и условные законы распределения




Дата добавления: 2019-10-16; просмотров: 82; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию, введите в поисковое поле ключевые слова и изучайте нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам понравился данный ресурс вы можете рассказать о нем друзьям. Сделать это можно через соц. кнопки выше.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2020 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.006 сек.