Точечные и интервальные оценки параметров

 

Оценкой параметра Q называют всякую функцию от результатов над n наблюдениями СВ Х, посредством которой судят о значении параметра Q. Оценку называют также статистикой.

Если Q - величина детерминированная, то ее оценка - случайная величина, которая в смысле качества оценивания может быть лучше или хуже. Качество оценивания определяется по трем критериям: несмещенность, состоятельность, эффективность.

Оценка параметра Q называется несмещенной, если ее МО равно параметру Q:

 

М( ) = Q. (1.36)

 

Требование несмещенности гарантирует отсутствие систематических ошибок при оценивании.

Оценка параметра Q называется состоятельной, если она удовлетворяет закону больших чисел, т.е. сходится по вероятности к Q:

 

lim P(ê - Q ê £ e) = 1 при n®¥. (1.37)

 

Как видно, с увеличением объема n выборки значительные ошибки оценивания становятся все менее вероятными.

Оценка параметра Q называется эффективной, если она несмещенная и имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок, вычисленных по выборкам одного объема n. Эффективность является решающим критерием качества оценивания, поскольку совмещает в себе два критерия.

Основным методом получения оценок параметров по данным выборки является метод максимального правдоподобия. Согласно ему в качестве оценки принимается такое ее значение, которое максимизирует функцию правдоподобия L:

 

L(x1, x2, ... , xn, Q) = P ji(xi, Q). (1.38)

 

Функция L есть плотность вероятности (вероятность) совместного появления данных выборки x1, x2, ... , xn, Получаемая из выражения Arg(L(x1, x2, ... , xn, Q) max) = оценка такова, что имеющиеся у нас наблюдения являются наиболее правдоподобными.

Достоинство метода максимального правдоподобия: получаемые с его помощью оценки состоятельны, асимптотически (при n®¥) эффективны и имеют асимптотически (при n®¥) нормальный ЗР.

Пусть имеется выборка x1, x2, ... , xn, по которой методом максимального правдоподобия оцениваются параметры распределения СВ Х. Тогда:

выборочная средняя = ånixi/n,

выборочная дисперсия s2 = åni(xi - )2/n,

выборочная доля w=m/n.

Здесь и w - несмещенные, состоятельные и эффективные (для нормально распределенной генеральной совокупности) оценки для МО а и вероятности р, а s2 - смещенная, но состоятельная оценка дисперсии s2.

Обычно в качестве оценки используется исправленная выборочная дисперсия, которая является несмещенной и состоятельной оценкой дисперсии s2.

 

.

 

Мы рассмотрели точечные оценки параметров. Помимо них существуют интервальные оценки.

Интервальной оценкой параметра Q называется интервал ( , ), который с заданной вероятностью g накрывает неизвестное значение параметра Q. Интервал ( , ) называется доверительным, а вероятность g - доверительной вероятностью (надежностью) оценки. Величина доверительного интервала уменьшается с ростом объема выборки n и растет с ростом доверительной вероятности g.

Пример построения доверительного интервала. Пусть x1, x2, ... , xn, -выборка, полученная случайным отбором с повтором из генеральной совокупности с НЗР. Пусть и - средние выборочная и генеральная, s - выборочное СКО, - СКО выборочной средней. Поскольку статистика ( - )/ = ( - ) имеет t-распределение Стьюдента с n-1 степенями свободы, доверительный интервал для генеральной средней с доверительной вероятностью g будет таким:

 

( - tg, n-1 , + tg, n-1 ). (1.39)

 

 


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Многомерные случайные величины и условные законы распределения | Проверка статистических гипотез




Дата добавления: 2019-10-16; просмотров: 169; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию, введите в поисковое поле ключевые слова и изучайте нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам понравился данный ресурс вы можете рассказать о нем друзьям. Сделать это можно через соц. кнопки выше.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2020 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.007 сек.