Многомерные случайные величины и условные законы распределения

 

Упорядоченный набор Х= (X1, X2, ... , Xn ) случайных величин называется n-мерной СВ.

Функцией распределения n-мерной СВ (X1, X2, ... , Xn ) называется функция F(x1, x2, ... , xn), являющаяся вероятностью совместного выполнения n неравенств:

 

F(x1, x2, ... , xn) = Р(Х1< х1, Х2< х2, ... , Хn< xn). (1.23)

 

Двумерная функция распределения:

 

F(x, y) = Р(Х< х, Y< y). (1.24)

 

Свойства ФР F(x, y):

1. 0 £ F(x, y) £ 1.

2. Если x1 < x2, то F(x1, y) £ F(x2, y), аналогично и для y1 < y2 .

3. F(x, -¥) = F(-¥, y) = F(-¥,-¥) = 0.

4. F(x, ¥) = F1(x), F(¥, y) = F2(y), где F1(x) и F2(y) - функции распределения СВ Х и Y соответственно.

5. F(¥,¥) = 1.

Плотностью вероятности (совместной плотностью) непрерывной двумерной СВ (Х, Y) называется вторая смешанная частная производная ее ФР:

 

j(x, y) = Fxy”(x, y) = (1.25)

Свойства плотности вероятности двумерной СВ j(x, y):

1. j(x, y) ³ 0.

2. P((x, y) Î D) = .

3. F(x, y) = .

4. .

Условным ЗР СВ Х, взятой из двумерной СВ(Х, Y), называется закон распределения СВ Х, полученный при условии, что другая СВ Y приняла определенное значение. Условная плотность вероятности jy(x) двумерной СВ (Х, Y) определяется формулой:

 

jy(x) = .

 

Числовые характеристики условного распределения: условное МО а(у)=Му(Х) и условная дисперсия s2(у)=Dy(X). Другие их обозначения: М(Хêу) и D(Хêу).

Условное МО СВ Y при Х=х, т.е. Мх(Y), есть функция от х, называемая функцией регрессии (регрессией) Y по Х.

Пример. Пусть двумерная СВ (Х, Y) и ее ЗР j(x, y) являются некоторой моделью железной дороги, причем СВ Х - количество порожних вагонов в суточной заявке порта, СВ Y - количество поставленных порожних вагонов за сутки в порт. Тогда регрессия Мх(Y) показывает соотношение между заявкой и поставкой вагонов в среднем (рис. 1.3).

 


Мх(Y) (шт.)            
             
           
             
               
           
             
             
               
             
              X (шт.)

 

Рис. 1. 3

 

Свойства условного МО:

1. Если Z = z(X), где z - неслучайная функция от Х, то Mz(Mx(Y)) = =Mz(Y), в частности, М(Мх(Y)) = М(У).

2. Если Z = z(X), то Mz(Z×Y) - Z×Мх(Y).

3. Если СВ Х и Y независимы, то Мх(Y) = М(Y) (на рис. 1.3 это была бы горизонтальная прямая).

Для независимых СВ j(x, y) = j1(x)∙j2(y), или jу(x) = j1(x) и jх(y) = j2(y), где j1 и j2 - плотности одномерных СВ Х и Y, jу(x) и jх(y) - плотности условных распределений Х по Y и Y по Х.

Зависимость между двумя СВ называется статистической, если каждому значению одной из них соответствует определенное (условное) распределение другой.

Ковариацией (корреляционным моментом) Cov(Х, Y) СВ Х и Y называется МО произведения отклонений этих величин от своих МО:

 

Cov(Х, Y) = М((Х-ах)( Y-ау)). (1.26)

 

Другие обозначения ковариации: Кху, .

Ковариация двух СВ характеризует, во-первых, степень их взаимозависимости, во-вторых, их рассеяние вокруг точки (ах, ау).

Для измерения только тесноты связи двух СВ применяют безразмерный коэффициент корреляции r:

 

r = Cov(Х, Y) / (sхsу). (1.27)

 

Свойства ковариации:

1. Cov(Х, Y) = 0, если Х и Y независимы.

2. Cov(Х, Y) = М(Х, Y) - ах ау.

3. êCov(Х, Y)ê £ sхsу.

Свойства коэффициента корреляции r:

1. -1 £ r £ 1.

2. r = 0, если СВ Х и Y независимы. Обратное утверждение неверно.

3. если êr ê = 1, то СВ Х и Y связаны линейной функциональной зависимостью.

 


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Основные распределения случайных величин | Точечные и интервальные оценки параметров




Дата добавления: 2019-10-16; просмотров: 36; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию, введите в поисковое поле ключевые слова и изучайте нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам понравился данный ресурс вы можете рассказать о нем друзьям. Сделать это можно через соц. кнопки выше.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2020 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.006 сек.