Функция распределения и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины

Очевидно, ряд распределения случайной величины может быть построен только для дискретной случайной величины. Для непрерывной случайной величины нельзя даже перечислить все ее возможные значения. Кроме того, вероятность каждого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины равна нулю.

Например, вероятность того, что рост мужчины - непрерывная случайная величина - точно равен метров; купленная нами лампа проработает - непрерывная случайная величина - ровно 900 часов; ....

Как видим, событие возможное, но имеет нулевую вероятность.

Для характеристики поведения непрерывных случайных величин целесообразно использовать вероятность события {X<х}, а не {X=х}), где х - некоторое действительное число. С точки зрения практики нас мало интересует событие, состоящее, например, в том, что лампочка проработает ровно 900 часов, т.е. X = 900. Более важным является событие вида {X<900} (или {X>900}). Такое событие имеет ненулевую вероятность, а при изменении х вероятность события {X<х} в общем случае будет меняться. Следовательно, вероятность Р{Х<х} является функцией от х.

Универсальным способом задания закона распределения вероятностей, пригодным как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин, является ее функция распределения, обозначаемая (или просто , без индекса, если ясно, о какой случайной величине идет речь).

Функцией распределения случайной величины X называется функция , которая для любого числа равна вероятности события {Х<х}.

Таким образом, по определению

, т.е. .

(5.1)

Функцию называют также интегральной функцией распределения. Геометрически равенство (5.1) можно истолковать так: есть вероятность того, что случайная величина X примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х, т.е. случайная точка X попадет в интервал .

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1. ограничена, т.е.

.

2. - неубывающая функция на R, т.е. если , то

.

3. обращается в нуль на минус бесконечности и равна единице в плюс бесконечности, т.е.

, .

4. Вероятность попадания случайная величина X в промежуток [а, b) равна приращению ее функции распределения на этом промежутке, т.е.

.

(5.2)

5. непрерывна слева, т.е. .

Всяка функция , обладающая свойствами 1-3 и 5, может быть функцией распределения некоторой случайной величины. Формула (5.2) – свойство 4 – справедлива и для непрерывных случайных величин.

С помощью функции распределения можно вычислить вероятность события :

.

(5.3)

Можно дать более точное определение непрерывной случайной величины.

Случайную величину X называют непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, может быть, отдельных точек.

Используя свойство 4 можно показать, что вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет заранее указанное определенное значение a, равна нулю.

Действительно, применим формулу (5.2) к промежутку : . Будем неограниченно приближать точку х к а. Так как функция непрерывна в точке а, то .

В пределе получим . Если функция везде непрерывна, то вероятность каждого отдельного значения случайной величины равна нулю.

Следовательно, для непрерывной случайной величины справедливы равенства

Функция распределения дискретной случайной величины имеет вид

.

(5.4)

Здесь суммирование ведется по всем i, для которых . Равенство (5.4) непосредственно вытекает из определения (5.1).

Пример 5.2. В урне 8 шаров, из которых 5 белых, остальные - черные. Из нее вынимают наудачу 3 шара. Найти функцию распределения F(x) и построить ее график.

Решение:

Воспользуемся результатами задачи 5.1. Будем задавать различные значения х и находить для них :

1. Если , то ;

2. Если , то ;

3. Если , то ;

4. Если , то ;

5. Если , то .

Итак,

.

(5.5)

Отметим, что, пользуясь равенством (5.4), функцию распределения можно сразу записать в виде (5.5)

Рис. 5.2.

Как видим (на рис. 5.2), функция распределения дискретной случайной величины Х - разрывная, со скачками р_i в точках х_i, функция, непрерывная слева: при переходе к точке разрыва слева функция F(x) сохраняет свое значение, ее график имеет ступенчатый вид.

Плотность распределения и ее свойства

Важнейшей характеристикой непрерывной случайной величины, помимо функции распределения, является плотность распределения вероятностей. Напомним, что: случайная величина X называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.

Плотностью распределения вероятностей (плотностью распределения, плотностью вероятностей или просто плотностью) непрерывной случайной величины X называется производная ее функции распределения.

Обозначается плотность распределения непрерывной случайной величины X через (или ) или просто (или ), если ясно о какой случайной величине идет речь.

Таким образом, по определению

.

(5.6)

Функцию называют также дифференциальной функцией распределения. Она является одной из форм закона распределения случайной величины, существует только для непрерывных случайных величин.

Установим вероятностный смысл плотности распределения. Из определения производной следует

Но согласно формуле (5.2), .

Отношение представляет собой среднюю вероятность, которая приходится на единицу длины участка , т.е. среднюю плотность распределения вероятности. Тогда

,

(5.7)

т.е. плотность распределения есть предел отношения вероятности попадания случайной величины в промежуток к длине ∆х этого промежутка, когда ∆х стремится к нулю. Из равенства (5.7) следует, что

.

То есть плотность вероятности определяется как функция , удовлетворяющая условию , выражение называется элементом вероятности.

Отметим, что плотность аналогична таким понятиям, как плотность распределения масс на оси абсцисс или плотность тока в теории электричества.

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

1. неотрицательная т.е.

.

2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в промежуток [a,b] равна определенному интегралу от ее плотности в пределах от а до b, т.е.

.

(5.8)

Геометрически эта вероятность равна площади S фигуры, ограниченной сверху кривой распределения и опирающейся на отрезок (рис. 5.3). График плотности называют кривой распределения.

Рис. 5.3.

3. Функция распределения непрерывной случайной величины может быть выражена через ее плотность вероятности по формуле

.

4. Условие нормировки: несобственный интеграл от плотности вероятности непрерывной случайной величины в бесконечных пределах равен единице, т.е.

.

Геометрически свойство нормировки означает, что площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

Пример 5.3. Плотность распределения случайной величины Х задана функцией . Найти значение параметра а.

Решение:

Согласно свойству 4 плотности, имеем , тогда , т.е. или и, наконец, получаем , т.е. .