Понятие случайной величины

Случайная величина. Закон распределения случайной величины

Одним из важнейших понятий теории вероятностей, наряду со случайным событием и вероятностью, является понятие случайной величины.

Под случайной величиной понимают величину, которая в результате опыта принимает то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.

Случайные величины обозначаются прописными латинскими буквами X, Y, Z,... (или строчными греческими буквами (кси), (эта), (тэта) (пси) и т.д.), а принимаемые ими значения соответственно малыми буквами х₁, х₂, …, у₁, у₂,…

Примерами случайных величин могут служить: 1) X - число очков, появляющихся при бросании игральной кости; 2) Y - число выстрелов до первого попадания в цель; 3) Z - время безотказной работы прибора, рост человека, курс доллара, количество бракованных деталей в партии, температура воздуха, выигрыш игрока, координата точки при случайном выборе ее на [0; 1], прибыль фирмы, и т.п.

Случайная величина, принимающая конечное или счетное множество значений, называется дискретной.

Если же множество возможных значений случайной величины несчетно, то такая величина называется непрерывной.

То есть дискретная случайная величина принимает отдельные изолированные друг от друга значения, а непрерывная случайная величина может принимать любые значения из некоторого промежутка. Например, значения на отрезке, на всей числовой прямой и. т.д. Отметим, что рассматриваются также случайные величины смешанного типа.

Дадим теперь строгое определение случайной величины, исходя из теоретико-множественной трактовки основных понятий теории вероятностей.

Случайной величиной X называется числовая функция, определенная па пространстве элементарных событий Ω, которая каждому элементарному событию ставит в соответствие число , т.е. , (или ).

Отметим, что если множество Ω конечно или счетно, то случайной величиной является любая функция, определенная на Ω. В общем случае функция должна быть такова, чтобы для любых событие принадлежало σ-алгебре множеств S и, значит, для любого такого события была определена вероятность .

Для полного описания случайной величины недостаточно лишь знания ее возможных значений, необходимо еще знать вероятности этих значений.

Любое правило (таблица, функция, график), позволяющее находить вероятности произвольных событий (S - σ-алгебра событий пространства Ω), в частности, указывающее вероятности отдельных значений случайной величины или множества этих значений, называется законом распределения случайной величины (или распределением). Про случайную величину говорят, что «она подчиняется данному закону распределения».